에르미트 행렬의 서로 다른 고유값의 고유벡터는 서로 수직이다

에르미트 행렬의 서로 다른 고유값의 고유벡터는 서로 수직이다

The eigenvectors for two different eigenvalues of the hermitian matrix are perpendicular to each other

정리

$A$를 크기가 $n \times n$인 에르미트 행렬이라고 하자. $A$ 의 서로 다른 두 고유값 $\lambda , \mu$ 에 대한 고유 벡터를 $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$라고 하자. 즉

$$ \begin{align*} A \mathbf{x} =& \lambda \mathbf{x} \quad \\ A \mathbf{y} =& \mu \mathbf{y} \end{align*} $$

그러면 두 고유 벡터는 서로 직교한다.

$$ \mathbf{x} \perp \mathbf{y} $$

설명

에르미트 행렬은 고유값이 모두 실수라는 성질뿐만 아니라 그들에 대응하는 고유벡터가 서로 직교한다는 성질을 가지고 있다. 이러한 성질들이 있으면 분명 어딘가의 증명에서 유용하게 쓰일 수 있을 것이다. 원래 고유값의 개념을 생각해보면 당연한 것 같지만 정의를 잘 보면 결코 당연하지 않다.

증명

가정에서 $\mathbf{x}$ 는 $\lambda$ 의 고유벡터, $\mathbf{y}$ 는 $\mu$ 의 고유벡터다. $A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$에서 양변의 왼쪽에 $\mathbf{y}^{\ast}$를 곱하면 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \mathbf{y}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} \label{lambda} \end{equation} $$

마찬가지로 $A \mathbf{y} = \mu \mathbf{y}$에서 양변의 왼쪽에 $\mathbf{x}^{\ast}$를 곱하면 다음과 같다.

$$ \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{y} = \mu \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{y} $$

$\mu$ 는 실수이고 $A$ 는 에르미트 행렬이므로 위의 식의 양변에 켤레 전치 $^{\ast}$를 취하면 다음과 같다.

$$ \begin{align} && \left( \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{y} \right)^{\ast} =& \left( \mu \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{y} \right)^{\ast} \notag{} \\ \implies && \mathbf{y}^{\ast} A^{\ast} \mathbf{x} =& \mu^{\ast} \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} \notag{} \\ \implies && \mathbf{y}^{\ast} A \mathbf{x} =& \mu \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} \label{mu} \end{align} $$

그러면 $\eqref{lambda}$과 $\eqref{mu}$ 에 의해 다음의 식이 성립한다.

$$ \lambda \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} = \mathbf{y}^{\ast} A \mathbf{x} = \mu \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} $$

좌변으로 정리하면 다음과 같다.

$$ (\lambda - \mu ) \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} = 0 $$

가정에 의해 $\lambda$와 $\mu$은 서로 다른 실수이므로

$$ \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} = 0 \implies \mathbf{y} \cdot \mathbf{x} = 0 $$

그러므로

$$ \mathbf{x} \perp \mathbf{y} $$

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