각운동량 연산자의 고유함수는 구면조화함수이다

각운동량 연산자의 고유함수는 구면조화함수이다

the eigenfunction of angular momentum operator is spherical harmonics


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각운동량 연산자 $L^{2}$와 $L_{z}$는 상수 $l$, $m$에 의해 결정되는 고유함수를 공통으로 가진다. 이를 $f_{l}^{m}$이나 디랙 노테이션을 고려하여 $|l,m>$으로 표기한다. $$ \begin{align*} L^{2}|l,m>=&\ \hbar^{2}l(l+1)|l,m>\tag {1} \\ L_{z}|l,m>=&\m\hbar|l,m> \end{align*} $$ 이때 각운동량 연산자의 고유함수 $|l,m>$은 실제로 구면조화함수 $Y_{l}^{m}$과 같다. $$ |l,m>= Y_{l}^{m} $$

증명

3차원 운동량 연산자가 $-i\hbar \nabla$이므로 각운동량 연산자는 $$ \mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}=-i\hbar (\mathbf{r}\times \nabla) $$ 이다. 구면좌표계에서 $$ \nabla=\frac{ \partial }{ \partial r}\hat{\mathbf{r}}+\frac{1}{r}\frac{ \partial }{ \partial \theta }\hat{\boldsymbol{\theta}}+\frac{1}{r\sin \theta}\frac{ \partial }{ \partial \phi }\hat{\boldsymbol{\phi}} $$ 이므로 $$ \begin{align*} \mathbf{L}=&-i\hbar \left( r\hat{\mathbf{r}}\times\hat{\mathbf{r}}\frac{ \partial }{ \partial r}+\hat{\mathbf{r}}\times\hat{\boldsymbol{\theta}}\frac{ \partial }{ \partial \theta }+\hat{\mathbf{r}}\times\hat{\boldsymbol{\phi}} \frac{1}{\sin \theta}\frac{ \partial }{ \partial \phi }\right) \\ =&-i\hbar \left( \hat{\boldsymbol{\phi}}\frac{ \partial }{ \partial \theta }-\hat{\boldsymbol{\theta}}\frac{1}{\sin \theta}\frac{ \partial }{ \partial \phi }\right) \end{align*} $$ 구면좌표계의 단위벡터를 직교좌표계의 단위벡터로 나타내면 $$ \begin{align*} \hat{\boldsymbol{\theta} } =&\ \cos\phi \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \cos\theta\hat{\mathbf{y}} - \sin\theta\hat{\mathbf{z}} \\ \hat{\boldsymbol{\phi}} =&\ -\sin\phi \hat{ \mathbf{x}} + \cos\phi \hat{\mathbf{y}} \end{align*} $$ 이므로 $$ \begin{align*} \mathbf{L} =&-i\hbar \left[(-\sin\phi \hat{ \mathbf{x}} + \cos\phi \hat{\mathbf{y}})\frac{ \partial }{ \partial \theta }-(\cos\phi \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \cos\theta\hat{\mathbf{y}} -\sin \theta \hat{\mathbf{z}})\frac{1}{\sin \theta}\frac{ \partial }{ \partial \phi }\right] \\ =&\ -i\hbar \left[\hat{\mathbf{x}}\left(-\sin\phi \frac{ \partial }{ \partial\theta }-\cos\phi \cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \phi } \right) +\hat{\mathbf{y}} \left( \cos\phi \frac{ \partial }{ \partial \theta }-\sin\phi \cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \phi }\right)+\hat{\mathbf{z}}\left(\frac{ \partial }{ \partial \phi} \right) \right] \end{align*} $$ 이다. 각 성분별로 써보면 $$ \begin{align*} L_{x} =&\i\hbar\left( \sin\phi \frac{ \partial }{ \partial\theta }+\cos\phi \cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \phi } \right) \\ L_{y} =&-i\hbar\left( \cos\phi \frac{ \partial }{ \partial \theta }-\sin\phi \cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \phi }\right) \\ L_{z} =&-i\hbar\frac{ \partial }{ \partial \phi } \end{align*} $$ 따라서 사다리 연산자는 $$ \begin{align*} L_{\pm} =&\L_{x}\pm iL_{y} \\ =&\ i\hbar \left[ \left( \sin\phi \mp i \cos \phi \right)\frac{ \partial }{ \partial \theta }+(\cos\phi\pm i \sin \phi)\cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \phi } \right] \\ =&\ i\hbar \left[ \mp i\left( \cos \phi \pm i \sin \phi\right)\frac{ \partial }{ \partial \theta }+(\cos\phi\pm i \sin \phi)\cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \phi } \right] \\ =&\ i\hbar e^{\pm i \phi}\left( \mp i\frac{ \partial }{ \partial \theta }+\cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \phi } \right) \\ =&\ \pm \hbar e^{\pm i \phi}\left( \frac{ \partial }{ \partial \theta }\pm i\cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \phi } \right) \end{align*} $$ 이로부터 아래의 식을 얻는다. $$ L_{+}L_{-}=-\hbar ^{2} \left( \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \theta^{2} }+\cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \theta }+\cot ^{2}\theta \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \phi^{2} }+i\frac{ \partial }{ \partial\phi } \right) $$ 이때 $L^{2}=L_{\pm}L_{\mp}+L_{z}^{2}\mp\hbar L_{z}$이므로 $$ L^{2}=-\hbar ^{2}\left[ \frac{1}{\sin \theta}\frac{ \partial }{ \partial \theta }\left(\sin \theta \frac{ \partial }{ \partial \theta } \right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\frac{ \partial ^{2}}{ \partial \phi^{2} } \right] $$ 이다. 단순히 대입하고 정리하면 얻을 수 있으니 직접 해보자. 이를 고유함수에 적용하면 $$ L^{2}|l,m>=-\hbar ^{2}\left[ \frac{1}{\sin \theta}\frac{ \partial }{ \partial \theta }\left(\sin \theta \frac{ \partial }{ \partial \theta } \right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\frac{ \partial ^{2}}{ \partial \phi^{2} } \right]|l,m> $$ 원래 $|l,m>$은 고유값 방정식 $(1)$을 만족하므로 $$ \left[ \frac{1}{\sin \theta}\frac{ \partial }{ \partial \theta }\left(\sin \theta \frac{ \partial }{ \partial \theta } \right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\frac{ \partial ^{2}}{ \partial \phi^{2} } \right]|l,m>=-l(l+1)|l,m> $$ 그런데 여기서 $|l,m>=\Theta\Phi$라고 두면 구면조화함수가 만족하는 미분 방정식과 정확하게 똑같다는 것을 알 수 있다. $$ \frac{1}{\Theta\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left( \sin\theta \frac{d \Theta}{d \theta} \right) + \frac{1}{\Phi\sin^2\theta}\frac{d^2 \Phi}{d \phi^{2}}=-l(l+1) $$ 따라서 구면조화함수가 바로 각운동량 연산자의 고유함수이다.

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