음파의 산란 정문제

음파의 산란 정문제

The Direct Sacttering Problem of Acoustic waves

설명1

산란이론정문제는 전체 장total field이 $u = u^{i} + u^{s}$와 같은 상황에서, 입사 장incident field $u^{i}$를 알고 있을 때 산란 장scattered field $u^{s}$를 구하는 것이다. 음파의 경우, 입사 장은 다음과 같은 시간-조화 평면파로 주어진다고 가정한다.

$$ u^{i} (x,t) = e^{i(k x\cdot d - \omega t)},\quad x\in \mathbb{R}^{3} $$

여기서 $k = \dfrac{\omega}{c_{0}}$는 파수, $\omega$는 진동수, $c_{0}$는 음파의 속도, $d \in \mathbb{R}^{3}$는 음파의 진행 방향을 의미하는 벡터이다. 또한 문제를 간단히 하기 위해서 파동 방정식이 아니라 다음과 같이 시간항이 사라진 헬름홀츠 방정식을 다루기로 하자.

$$ \Delta u (x) + k^{2}u (x) = 0 $$

아래의 문제들은 산란이론에서 물리적으로 현실에 맞는 문제들 중에서 가장 단순한 예이다. 그럼에도 불구하고 (특히 수치적인 부분에서) 해결되지 않은 부분이 있으며, 여전히 연구중인 주제이다.2

장애물이 없는 경우

균일하지 않은 매질inhomogeneous medium에 대한 가장 간단한 문제는, 다음을 만족하는 토탈 필드 $u$를 찾는 것이다.

$$ \begin{align} \Delta u + k^{2} n(x) u = 0 \quad \text{in } \mathbb{R}^{3} \\[1em] u(x) = e^{i k x \cdot d} + u^{s}(x) \\[1em] \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{\partial u^{s}}{\partial r} - ik u^{s} \right) = 0 \end{align} $$

이때 $r = \left| x \right|$이고, $n(x) = c_{0}^{2}(x) / c^{2}$은 굴절률refractive index, $c$는 공기 중에서의 음파의 속도이다. $(3)$은 조머펠트 복사 조건이라 하며, 솔루션이 물리적으로 의미를 갖기 위해 만족해야할 조건이다.

$n$은 공기 중에서 $\dfrac{c}{c}=1$이고 매질은 유한하다고 가정하는게 자연스럽다. 따라서 $1-n(x)$는 공기 중에서는 값이 $0$이고, 매질속에서는 양수이다. 따라서 $1-n$은 컴팩트 서포트를 갖는다.

장애물이 있는 경우

뚫을 수 없는 장애물impenetrable obstacle $D$에 의한 산란이 일어나는 경우에, 가장 간단한 문제는 다음을 만족하는 토탈 필드 $u$를 찾는 것이다.

$$ \begin{align} \Delta u + k^{2}u = 0 \quad \text{in } \mathbb{R}^{3} \setminus \overline{D} \\[1em] u(x) = e^{i k x \cdot d} + u^{s}(x) \\[1em] u = 0 \quad \text{on } \partial D \\[1em] \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{\partial u^{s}}{\partial r} - ik u^{s} \right) = 0 \end{align} $$

$(6)$은 sound-soft obstacle에 대한 디리클레 경계조건이다. sound-hard obstacle에 대해서 노이만 경계조건 혹은 로빈 경계조건을 고려할 수도 있다.

$$ \dfrac{\partial u}{\partial \nu_{}} = 0 \quad \text{on } \partial D $$

$$ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} + i k \lambda u = 0 \quad \text{on } \partial D, \quad \lambda \gt 0 $$


  1. David Colton and Rainer Kress, Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory (4th Edition, 2019), p2-3 ↩︎

  2. 참고한 교재의 최신판(4th Edition, 2019) 기준. ↩︎

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