3차 방정식의 근의 공식

3차 방정식의 근의 공식

the cubic formula

공식

3차 방정식 $t^{3}+pt+q = 0$의 해는 다음과 같다.

$$ \begin{cases} t_{1}=u_{1}+v_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ t_{2}=u_{2}+v_{3}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2} \\ t_{3}=u_{3}+v_{2}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega\end{cases} $$

이때 $\omega = e^{i\frac{2}{3}\pi}$이다.

증명

카르다노 방식

3차 방정식 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0(a\ne0)$가 주어졌다고 하자. 풀이를 간단하게 하기 위해, 일반성을 잃지 않고 아래와 같이 나타내자.

$$ \begin{equation} x^{3}+ax^{2} +bx+c=0 \end{equation} $$

2차항을 없애주기 위해 $x=t-{\textstyle \frac{a}{3}}$으로 치환하자. 그러면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} &&\left( t- \frac{a}{3}\right)^{3}+a\left( t-\frac{a}{3} \right)^{2}+b\left( t-\frac{a}{3} \right) + c &=0 \\ \implies && \left( t^{3}-\cancel{at^{2}}+\frac{a^{2}}{3}t-\frac{a^{3}}{27} \right)+\left(\cancel{at^{2}}-\frac{2a^{2}}{3}t + \frac{a^{3}}{9}\right) + \left( bt-\frac{ab}{3} \right) +c &= 0 \\ \implies && t^{3}+\left( \frac{a^{2}}{3} -\frac{2a^{2}}{3}+b \right)t +\left( -\frac{a^{3}}{27}+\frac{a^{3}}{9}-\frac{ab}{3}+c \right)&=0 \\ \implies && t^{3}+\left( b- \frac{a^{2}}{3} \right)t +\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)&=0 \end{align*} $$

여기서 다시 식을 간단하게 하기 위해서 $p=b-\frac{a^{2}}{3}$, $q=\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c$라고 두면 위 식은 아래와 같다.

$$ \begin{equation} t^{3}+pt+q = 0 \end{equation} $$

여기서 한 번 더 $t=u+v$로 치환하면 위 식은 아래와 같다.

$$ \begin{equation} (u+v)^{3}+p(u+v)+q=0 \end{equation} $$

또한 곱셈 공식에 의해 다음의 식이 성립한다.

$$ (u+v)^{3}=u^{3}+3u^{2}v+3uv^{2}+v^{2}=u^{3}+v^{3}+3uv(u+v) $$

위 식의 우변을 모두 좌변으로 이항하면 아래의 식을 얻는다.

$$ \begin{equation} (u+v)^{3} - 3uv(u+v) - (u^{3}+v^{3})=0 \end{equation} $$

$(3)$과 $(4)$를 비교해보면 $(3)$을 푸는 것은 $p=-3uv$, $q=-(u^{3}+v^{3})$를 만족하는 $u$, $v$를 찾는 것과 같다는 것을 알 수있다. 두 식을 $u$, $v$에 대해서 적어보면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} u^{3}v^{3} &= -\frac{p^{3}}{27} \\ u^{3}+v^{3} &= -q \end{align*} $$

이때 2차 방정식의 근과 계수의 관계를 생각해보면 $u^{3}$, $v^{3}$는 아래의 2차 방정식의 두 근인 것을 알 수 있다.

$$ X^{2} +qX -\frac{p^{3}}{27}=0 $$

그러면 근의 공식에 의해 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} X_{1}&=u^{3}=\frac{-q+\sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}}}{2}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}} \\ X_{2}&= v^{3}=\frac{-q-\sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}}}{2}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}} \end{aligned} \end{equation} $$

이 때 임의의 실수 $\alpha$에 대해서 $z^{3}=\alpha$를 만족하는 세 허근은 아래와 같다.

$$ z_{1}=\sqrt[3]{\alpha} \quad \text{and} \quad z_{2}=\sqrt[3]{\alpha}\omega \quad \text{and} \quad z_{3}=\sqrt[3]{\alpha}\omega^{2} $$

이때 $\omega$는 $\omega^{3}=1$을 만족하는 복소수이며 구체적으로는 $\omega=e^{i\frac{2}{3}\pi}=\cos (\frac{2}{3}\pi)+i\sin (\frac{2}{3}\pi)$이다. 따라서 $(5)$를 만족하는 $u, v$는 다음과 같다.

$$ \begin{cases} u_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ u_{2}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega \\ u_{3}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2}\end{cases}\quad \text{and} \quad \begin{cases} v_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ v_{2}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega \\ v_{3}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2}\end{cases} $$

그런데 $p=-uv$는 실수 이므로 위 조합 중에서 곱해서 실수가 되는 조합만이 해이다. 따라서 해는 아래와 같다.

$$ \begin{cases} t_{1}=u_{1}+v_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ t_{2}=u_{2}+v_{3}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2} \\ t_{3}=u_{3}+v_{2}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega\end{cases} $$

모든 3차 방정식은 치환을 통해 $(2)$와 같이 2차항이 없는 꼴로 나타낼 수 있으므로 위의 공식 만으로도 충분하다. $(1)$에 대한 공식으로 표현하면 아래와 같다.

$$ \begin{cases} x_{1}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)+\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)-\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}-\frac{a}{3} \\ x_{2}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)+\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}\omega+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)-\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}\omega^{2} -\frac{a }{3} \\ x_{3}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)+\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}\omega^{2}+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)-\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}\omega -\frac{a }{3} \end{cases} $$

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