콘 조건

콘 조건

The Cone Condition

정의1

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. 만약에 어떤 유한 콘이 존재해서 각각의 $x \in \Omega$에 대해서 $x$를 꼭짓점으로 가지는 유한 콘 $C_{x} \subset \Omega$가 존재하면 $\Omega$가 콘 조건cone condition을 만족한다고 한다.

설명

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모든 $x\in \Omega$에 대해서 위 그림과 같이 $C_{x} \in \Omega$가 있다면 $\Omega$는 콘 조건을 만족한다. 만약 $\Omega$가 다음 그림과 같이 뾰족한 부분을 포함하는 꼴이라면 콘 조건을 만족시킬 수 없다.

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위와 같이 다이아몬드 문양처럼 생긴 $\Omega$는 적어도 4개의 꼭짓점에서는 조건을 만족하지 못한다. 각도를 잘 살펴보면 콘의 크기에 상관없이 절대 $C_{x}$가 $\Omega$에 포함될 수 없다는 것을 알 수 있다.


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p82 ↩︎

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