미분기하학에서 크리스토펠 기호

미분기하학에서 크리스토펠 기호

빌드업1

$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$를 좌표조각사상이라 하자. 미분 기하학에서는 기하적인 대상의 특징과 성질을 미분을 통해 설명한다. 따라서 좌표조각 $\mathbf{x}$의 도함수들이 각종 정리와 공식에서 등장하게 된다. 가령 1계 도함수 $\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$들은 탄젠트 공간 $T_{p}M$의 기저가 된다. 따라서 임의의 탄젠트 벡터 $\mathbf{X} \in T_{p}M$은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2} $$

그럼 이제 좌표조각사상의 2계 도함수 $\mathbf{x}_{ij} = \dfrac{\partial^{2} \mathbf{x}}{\partial u_{i} \partial u_{j}}$를 생각해보자. 이는 $\mathbb{R}^{3}$의 벡터이므로 $\mathbb{R}^{3}$의 기저의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 그런데 우리는 이미 $\mathbb{R}^{3}$에서 서로 수직한 3개의 벡터를 알고 있는데, 그것은 1계 도함수들과 단위 노멀이다.

$$ \left\{ \mathbf{n}, \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\} $$

그러면 $\mathbf{x}_{ij}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \mathbf{x}_{ij} = a_{ij} \mathbf{n} + b^{1}_{ij} \mathbf{x}_{1} + b^{2}_{ij} \mathbf{x}_{2} $$

이러한 계수 $b_{ij}^{1}, b_{ij}^{2}$들을 크리스토펠 심볼이라 한다. 이제 계수를 구체적으로 구해보자. 제1 기본형식의 성질에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} && \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle &=\ b_{ij}^{1}\left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle + b_{ij}^{2}\left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle \\ && &=\ \sum\limits_{k^{\prime}=1}^{2}b_{ij}^{k^{\prime}}\left\langle \mathbf{x}_{k^{\prime}}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle \\ && &=\ \sum\limits_{k^{\prime}=1}^{2}b_{ij}^{k^{\prime}} g_{k^{\prime}l} \\ \implies && \sum\limits_{l=1}^{2}\left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} &=\ \sum\limits_{l=1}^{2}\sum\limits_{k^{\prime}=1}^{2}b_{ij}^{k^{\prime}} g_{k^{\prime}l}g^{lk} \\ && &=\ \sum\limits_{k^{\prime}=1}^{2}b_{ij}^{k^{\prime}} \delta_{k^{\prime}}^{k} \\ && &=\ b_{ij}^{k} \end{align*} $$

이제 이러한 $b_{ij}^{k}$들을 $\Gamma_{ij}^{k}$로 표기하고 다음과 같이 정의하자.

정의

다음과 같이 정의되는 $\Gamma_{ij}^{k}(1\le i,j,k \le 2)$를 크리스토펠 심볼Christoffel symbol이라 한다.

$$ \Gamma_{ij}^{k} := \sum \limits_{l=1}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} $$

$\sum$이 생략된 식은 아인슈타인 표기법을 사용한 것이다.

설명

$\mathbf{x}_{12} = \mathbf{x}_{21}$이므로 $\Gamma_{12}^{k} = \Gamma_{21}^{k}$이다.

$\mathbf{x}_{ij}$의 탄젠트 성분tangential components $b_{ij}^{k}$를 $\Gamma_{ij}^{k}$라 표기하고 크리스토펠 심볼이라 부르고, $\mathbf{x}_{ij}$의 노멀 성분normal component $a_{ij}$를 $L_{ij}$라 표기하고 제2 기본형식의 계수라 부른다.

위에서 소개한 크리스토펠 심볼은 구체적으로 제2 크리스토펠 심볼이다. 제1 크리스토펠 심볼Christoffel symbol of the first kind다음과 같이 정의된다.

$$ \Gamma_{ij \vert l} := \sum \limits_{k=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k}g_{kl} $$

보통 크리스토펠 심볼이라고 하면 제2 심볼을 가리킨다. 이러한 기호들을 처음 쓴 사람은 G. B. Christoffel이며 당시에는 제2 심볼을 $\begin{Bmatrix} ij \\ k \end{Bmatrix}$와 같이 썼다고 한다.

같이보기


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p104-105 ↩︎

댓글