국소 적분가능한 함수의 평균값은 중심의 함숫값으로 수렴한다

국소 적분가능한 함수의 평균값은 중심의 함숫값으로 수렴한다

the average of a locally integrable function converges to the value of the center

정리

$f \in L^1_{\mathrm{loc}}$이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \lim \limits_{r \rightarrow 0} A_r f(x)=f(x) \ \mathrm{a.e.}\ x\in \mathbb{R}^n $$

설명

국소 적분가능한 함수의 볼 $B(r,x)$위에서의 평균값의 반지름이 $0$으로 가는 극한은 볼 중심의 함숫값과 같다는 말이다.

증명

볼의 반지름이 $0$으로 가는 극한을 취하기 때문에, 어떤 $N \in \mathbb{N}$에 대해서 아래의 식이 성립함을 보이는 것으로도 충분하다.

$$ A_rf(x) \rightarrow f(x)\ \mathrm{a.e.}\ |x|\le N $$

같은 이유로 $r<1$인 상황에 대해서만 생각해도 된다. 그러면 아래 그림으로 알 수 있듯이 $|x| \le N$이고, $r<1$일 때 $A_r f(x)=\frac{1}{m\big( B_{r}(x) \big)}{\displaystyle \int_{B_{r}(x)}} f(y)dy$는 오로지 $|y|\le N+1$인 $f(y)$에 대해서만 값이 결정된다. 따라서 $f$를 $f\chi_{B(N+1,x)}$로 대체해도 무방하므로 $f\in L^1$라고 가정하자.

5DAEB3081.png

보조정리

$f \in L^1(m)$이고 $\epsilon>0$이라고 하자. 그러면 아래의 조건을 만족하는 심플 펑션 $\phi=\sum\nolimits_1^Na_j\chi_{R_j}$가 존재한다.

$$ \int |f-\phi| <\epsilon $$

또한 아래의 조건을 만족하는 유계인 집합 밖에서는 함숫값이 $0$인 연속함수 $g$가 존재한다.

$$ \int |f-g| <\epsilon $$

$m$은 르벡 측도이다.

이제 $\epsilon>0$가 주어졌다고 하자. 그러면 $f \in L^1$이므로 보조정리에 의해서 아래의 조건을 만족하는 연속인 적분가능한 함수 $g$가 존재한다.

$$ \int |g(y)-f(y)|dy < \epsilon $$

또한 $g$가 연속이기 때문에 모든 $x\in \mathbb{R}^n$, $\delta >0$에 대해서 아래의 조건을 만족하는 $r>0$이 존재한다.

$$ |y-x|<r \implies |g(y)-g(x)| < \delta $$

또한 $\frac{1}{m \big( B(r,x)\big)} {\displaystyle \int_{B(r,x)} }dy=1$이므로, $|y-x|<r$일 때 마다 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} |A_r g(x)-g(x)| &= \left| \frac{1}{m\big( B(r,x)\big)}\int_{B(r,x)}g(y)dy -g(x) \right| \\ &= \left| \frac{1}{m\big( B(r,x)\big)}\int_{B(r,x)}g(y)dy -\frac{1}{m\big( B(r,x)\big)}\int_{B(r,x)}g(x)dy \right| \\ &\le \frac{1}{m\big( B(r,x)\big)}\int_{B(r,x)}|g(y)-g(x)|dy \\ &\le \frac{1}{m\big( B(r,x)\big)}\int_{B(r,x)} \delta dy \\ &= \delta\frac{1}{m\big( B(r,x)\big)}\int_{B(r,x)} dy \\ &= \delta \end{align*} $$

따라서 $\lim \limits_{r \rightarrow 0} |A_r g(x) -g(x)|=0$이다. 삼각 부등식에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} & \limsup \limits_{r\rightarrow 0} |A_rf(x)-f(x)| \\ \le& \limsup \limits_{r\rightarrow 0} \Big( |A_rf(x)-A_r g(x)|+|A_rg(x)-g(x)|+|g(x)-f(x)| \Big) \\ =&\ \limsup \limits_{r\rightarrow 0} H(f-g)(x)+ |g(x)-f(x)| \end{aligned} \label{eq1} \end{equation} $$

이제 $E_\alpha$, $F_\alpha$를 다음과 같다고 하자.

$$ E_\alpha =\left\{ x\ :\ \limsup\limits_{r \rightarrow 0} |A_r f(x)-f(x) | > \alpha \right\} \\ F_\alpha =\left\{ x\ :\ |g-f |(x) > \alpha \right\} $$

그러면 $\eqref{eq1}$에 의해서 다음이 성립한다.

$$ E_\alpha \subset \Big( F_{\alpha /2} \cup \left\{ x\ :\ H(f-g)(x) >\alpha /2\right\} \Big) $$

$E_\alpha$에 속하는 원소라면 $F_{\alpha/2}$나 $\left\{x\ :\ H(f-g)(x)>\alpha/2 \right\}$ 둘 중 하나에는 반드시 속해야 하기 때문이다. 따라서 다음이 성립한다.

$$ m(E_\alpha) \le m(F_{\alpha/2}) + m\Big( \left\{ x\ :\ H(f-g)(x)>\alpha/2\right\}\Big) $$

또한 $F_{\alpha /2}$의 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} && \frac{\alpha}{2} &< \frac{1}{m(F_{\alpha /2})}\int_{F_{\alpha /2}}|g-f|(x)dx < \epsilon \\ \implies && m(F_{\alpha/2}) &< \frac{2\epsilon}{\alpha} \end{align*} $$

또한 맥시멀 정리에 의해서 다음이 성립한다.

$$ m\Big( \left\{ x\ :\ H(f-g)(x) > \alpha/2 \right\} \Big) \le \frac{2C}{\alpha} \int|g-f|(x)dx \le \frac{2C\epsilon}{\alpha} $$

따라서 다음의 결과를 얻는다.

$$ m(E_\alpha) \le \frac{2\epsilon}{\alpha}+\frac{2C\epsilon}{\alpha}=\left( \frac{2(1+C)}{\alpha}\right)\epsilon $$

이는 모든 $\epsilon>0$에 대해서 성립하므로 다음을 얻는다.

$$ m( E_\alpha)=0 $$

$$ \lim \limits_{r\rightarrow R}\phi(r)=c \iff \limsup \limits_{r\rightarrow R}|\phi(r)-c|=0 $$

따라서 $\mathrm{a.e.}$ $x\in\mathbb{R}^n$에 대해서 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} && \limsup \limits_{r\rightarrow 0} |A_r f(x)-f(x)| &= 0 \\ \implies && \lim \limits_{r \rightarrow 0}A_rf(x) &= f(x) \end{align*} $$

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