중심각이 작을 때 호의 길이와 현의 길이는 근사함을 증명

중심각이 작을 때 호의 길이와 현의 길이는 근사함을 증명

정리

중심각 $\theta$가 충분히 작을 때 현의 길이와 호의 길이는 근사한다. $\theta \rightarrow 0$일 때

$$\overline{AB} \approx \stackrel\frown{AB}$$

증명

1.JPG

위 그림에서 현의 길이는

$$\overline{AB} =2\overline{AM}=2r\sin \frac{\theta}{2}$$

중심각이 $\theta$이고 반지름의 길이가 $r$인 호의 길이는

$$\stackrel\frown{AB}=r\theta$$

각도가 충분히 작을 때 호의 길이와 현의 길이가 근사한다는 말은 둘의 차이가 거의 없다는 뜻이다. 즉, 비율이 1이라는 뜻이므로

$$ \lim \limits_{\theta \rightarrow 0}\dfrac{ \overline{AB} }{\stackrel\frown{AB}}=1 $$

임을 확인하면 된다.

$$ \begin{align*} \lim \limits_{\theta \rightarrow 0}\dfrac{ \overline{AB} }{\stackrel\frown{AB}} =&\ \lim \limits_{\theta \rightarrow 0} \dfrac{2r\sin \frac{\theta}{2}} {r\theta} \\ =&\ \lim \limits_{\theta \rightarrow 0} \dfrac{\sin \frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2} } = 1 \end{align*} $$

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