에어리 미분 방정식의 급수해

에어리 미분 방정식의 급수해

정의

다음의 미분방정식을 에어리Airy 미분방정식이라 한다.

$$ y^{\prime \prime}-xy=0,\quad -\infty<x<\infty $$

설명

이름의 유래는 영국의 천문학자 조지 비델 에어리George Biddell Airy이다.

스토크스 방정식Stokes equation이라고도 불린다.

풀이

$y^{\prime \prime}$항의 계수가 $1$이므로 모든 점이 보통점이다. 그 중에서 $x=0$ 근방에서의 급수해를 구해보자. 에어리 방정식의 해가 다음과 같고 수렴 구간 $|x|<\rho$에서 수렴한다고 가정하자.

$$ y= \sum \limits _{n=0} ^{\infty} a_n x^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots $$

그러면 $y^{\prime \prime}$는

$$ \begin{align*} y^{\prime \prime} =&\ \sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} \\ =&\ \sum \limits_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n \\ =&\ 2\cdot 1 a_2+ 3\cdot2 a_3x +4\cdot 3 a_4x^2+\cdots \end{align*} $$

미분 방정식에 대입하고, $x$의 차수를 맞춰서 정리하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} y^{\prime \prime}-xy =&\ \sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}-\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+1} \\ =&\ \sum \limits_{n=-1}^{\infty} (n+3)(n+2)a_{n+3}x^{n+1}-\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+1} \\ =&\ 2a_{2}+\sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+3)(n+2)a_{n+3}x^{n+1}-\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+1} \\ =&\ 2a_{2} + \sum \limits_{n=0}^{\infty } \left[ (n+3)(n+2)a_{n+3}-a_{n} \right]x^{n+1} \\ =&\ 0 \end{align*} $$

임의의 $x$에 대해서 항상 성립하려면 모든 계수가 $0$이어야 한다. 따라서

$$ a_{2}=0 $$

급수의 계수의 재귀 관계식을 $a_{n+3}$에 대해서 정리하면 아래와 같다.

$$ a_{n+3}=\frac{a_{n}}{(n+3)(n+2)} $$

먼저 $n=0$에 대해서 구해보면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} a_{3} =&\ \frac{1}{3\cdot 2}a_{0} \\ a_{6} =&\ \frac{1}{6\cdot 5}a_{3} =\frac{1}{6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}a_{0} \\ a_{9} =&\ \frac{1}{9\cdot 8}a_{6} =\frac{1}{9\cdot 8 \cdot 6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}a_{0} \\ \vdots & \end{align*} $$

$n=1$에 대해서 구해보면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} a_{4} =&\ \frac{1}{4\cdot 3}a_{1} \\ a_{7} =&\ \frac{1}{7\cdot 6}a_{4} =\frac{1}{7\cdot 6 \cdot 4 \cdot 3}a_{1} \\ a_{10} =&\ \frac{1}{10\cdot 9}a_{7} =\frac{1}{10\cdot 9 \cdot 7\cdot 6 \cdot 4 \cdot 3}a_{1} \\ \vdots & \end{align*} $$

$n=2$에 대해서 구해보면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} a_{5} =&\ \frac{1}{5\cdot 4}a_{2}=0 \\ a_{8} =&\ \frac{1}{8\cdot 7}a_{5}=0 \\ a_{11} =&\ \frac{1}{11\cdot 10}a_{8} =0 \\ \vdots & \end{align*} $$

따라서 에어리 미분방정식의 일반해는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} y =&\ \sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} \\ =&\ a_{0}+a_{1}x+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+a_{6}x^{6}+a_{7}x^{7}+\cdots \\ =&\ a_{0}+a_{1}x+\frac{1}{3\cdot 2}a_{0}x^{3}+\frac{1}{4\cdot 3}a_{1}x^{4}+\frac{1}{6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}a_{0}x^{6}+\frac{1}{7\cdot 6 \cdot 4 \cdot 3}a_{1}x^{7} \\ =&\ a_{0}\left( 1+\frac{1}{3\cdot 2}x^{3}+\frac{1}{6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}x^{6} + \cdots \right)+a_{1}\left( x+\frac{1}{4\cdot 3}x^{4}+\frac{1}{7\cdot 6\cdot 4\cdot 3}x^{7}+\cdots \right) \end{align*} $$

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