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에어리 함수

the airy function

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에어리 미분 방정식 $$ y^{\prime \prime}-xy=0 $$ 의 해를 베셀 함수로 나타내면 아래와 같다. $$ \begin{align*} \mathrm{Ai}(x) &= \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{x}{3}}K_{1/3}\left( \frac{2}{3}x^{2/3} \right) \\ \mathrm{Bi}(x) &= \sqrt{\frac{x}{3}}\left[ I_{-1/3}\left( \frac{2}{3}x^{3/2} \right) + I_{1/3} \left( \frac{2}{3}x^{2/3} \right) \right] \end{align*} $$ 이때 $I_{\nu}$, $K_{\nu}$는 변형 베셀 함수이다.

에어리 함수를 표현하는 방법은 여러가지인데 아래와 같이 이상적분 꼴로 표현할 수 도 있다. $$ \begin{align*} \mathrm{Ai}(x) &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \cos (t^{3}/3 + xt) dt \\ \mathrm{Bi}(x) &= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty} \left[ \exp \left( -\frac{1}{3}t^{3}+xt \right)+\sin\left( \frac{1}{3}t^{3}+xt \right) \right]dt \end{align*} $$