미분다양체 위에서 정의되는 텐서 📂기하학

미분다양체 위에서 정의되는 텐서

Tensor of Order r Defined on Differentiable Manifold

정의1

$M$을 $n$차원 미분다양체, $\mathcal{D}(M)$을 $M$ 위에서 미분가능한 함수들의 집합, $\mathfrak{X}(M)$을 $M$위의 모든 벡터필드들의 집합이라고 하자.

$$ \mathcal{D}(M) := \left\{ \text{all real-valued functions of class } C^{\infty} \text{ defined on } M \right\} $$

$$ \frak{X}(M) := \left\{ \text{all vector fileds of calss } C^{\infty} \text{ on } M \right\} $$

아래와 같은 다중선형함수 $T$를 $M$ 위의 $r$차 텐서tensor of order $r$ on $M$라고 한다.

$$ T : \overbrace{\frak{X}(M) \times \cdots \times \frak{X}(M)}^{r} \to \mathcal{D}(M) $$

설명

$\frak{X}(M)$은 $\mathcal{D}(M)$ 위의 모듈이 된다. 정의에 의해서 다음이 성립한다. 모든 $X, Y \in \frak{X}(M),\ f,g\in \mathcal{D}(M)$에 대해서,

$$ T(Y_{1}, \dots, fX + gY, \dots, Y_{r}) = fT(Y_{1}, \dots, X, \dots, Y_{r}) + gT(Y_{1}, \dots, Y, \dots, Y_{r}) $$

텐서의 특징은 좌표계에 의존하지 않고, 각 점에서의 값에만 의존한다는 것이다. 이를 설명하기 위해 점 $p \in M$을 고정하고 $U$를 $p$ 근 $\left\{ E_{i}(p) \right\}$가 탄젠트공간 $T_{p}M$의 기저가 되게하는 벡터필드 $E_{i}, \dots, E_{n} \in \frak{X}(M)$을 생각하자. 이러한 $\left\{ E_{i} \right\}$를 $U$ 위의 무빙 프레임moving frame, 움직이는 틀이라 한다. 이제 벡터필드 $Y_{i}$들의 $U$ 위로의 축소사상을 무빙 프레임 $\left\{ E_{i} \right\}$로 다음과 같이 표현하자.

$$ Y_{1} = \sum_{i_{1}}y_{i_{1}}E_{i_{1}},\quad \dots,\quad Y_{r} = \sum_{i_{r}}y_{i_{r}}E_{i_{r}} $$

그리고 $Y_{i}$들과 점 $p$에서의 ‘값만’ 같은 다른 벡터필드 $\left\{ Z_{j} = \sum z_{k_{j}}E_{k_{j}} \right\} \subset \frak{X}(M)$들을 생각하자.

$$ \begin{align*} && Z_{j}(p) &= Y_{j}(p) \\ \implies && z_{k_{j}}(p)E_{k_{j}}(p) &= y_{k_{j}}(p)E_{k_{j}}(p) \\ \implies && z_{k_{j}}(p) &= y_{k_{j}} \end{align*} $$

그러면 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} T(Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n})(p) &= y_{i_{1}}(p)\cdots y_{i_{r}}(p) T(E_{i_{1}}(p), \dots, E_{i_{r}}(p)) \\ &= z_{i_{1}}(p)\cdots z_{i_{r}}(p) T(E_{i_{1}}(p), \dots, E_{i_{r}}(p)) \\ &= T(Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n})(p) \end{align*} $$

따라서 $T(Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n})(p)$는 오직 $Y_{i}$들의 $p$에서의 값에만 의존하고, 좌표계에는 의존하지 않는다.

곡률 텐서

다음과 같이 정의되는 리만 곡률 $R$은 $4$차 텐서이다.

$$ R : \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M) $$

$$ R(X, Y, Z, W) = \left\langle R(X, Y)Z, W \right\rangle, \quad X, Y, Z, W \in \frak{X}(M) $$

무빙 프레임 $\left\{ X_{i} = \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right\}$에 대해서,

$$ R(X_{i}, X_{j}, X_{k}, X_{l}) = R_{ijkl} $$

메트릭 텐서

$$ g : \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M) $$

$$ g(X, Y) = \left\langle X, Y \right\rangle, \quad X, Y \in \frak{X}(M) $$

리만메트릭 $g$는 $2$차 텐서이다.

접속

$$ \nabla : \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M) $$

$$ \nabla(X, Y, Z) = \left\langle \nabla_{X}Y, Z \right\rangle, \quad X, Y, Z \in \frak{X}(M) $$

위와 같이 같이 정의되는 레비-치비타 접속 $\nabla$는, $Y$ 성분에 대해서 선형이 아니므로, 텐서가 아니다.


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p100-101 ↩︎

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