단순 곡면 위의 탄젠트 벡터

단순 곡면 위의 탄젠트 벡터

정의1

1.png

좌표조각사상 $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$ 위의 점 $p = \mathbf{x}(a,b)$를 생각해보자. 만약 벡터 $\mathbf{X}$가 $p$를 지나는 어떤 $\mathbf{x}(U)$ 위의 곡선의 $p$에서의 속도 벡터이면 $\mathbf{X}$를 단순 곡면 $\mathbf{x}$에 대한 탄젠트 벡터tangent vector라고 정의한다.

다시 말해 만약 임의의 $\epsilon > 0$에 대해서 적당히 짧은 어느 곡선 $\alpha : (-\epsilon, \epsilon) \to \mathbf{x}(U) \subset \mathbb{R}^{3}$이 존재해서 다음의 조건

$$ \alpha(0) = p \quad \text{and} \quad a^{\prime}(0) = \left. \dfrac{d \alpha}{d t}\right|_{t=0}= \mathbf{X} \quad \text{and} \quad \alpha(t) = \mathbf{x}\left( \alpha_{1}(t), \alpha_{2}(t) \right) $$

을 만족하면 $\mathbf{X}$를 단순 곡면 $\mathbf{x}$에 대한 탄젠트 벡터라고 한다.

설명

위와 같이 정의된 탄젠트 벡터들의 집합은 아래의 정리에 의해 벡터공간이 되고, 이는 실제로 접평면과 같다. 따라서 탄젠트 플랜은 탄젠트 공간tangent space이라 불린다.

$$ T_{p}M = \left\{ \text{all vectors tangent to } M \text{ at } p \right\} $$

표기법

탄젠트 벡터의 표기로는 주로 $\mathbf{X}, \mathbf{Y}$를 쓴다. 이는 탄젠트 벡터를 탄젠트 공간의 임의의 원소로서 생각하기 때문인 것 같다.

정리

좌표조각사상 $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$의 점 $p = \mathbf{x}(a,b)$에서의 모든 탄젠트 벡터들의 집합 $T_{p}M$은 벡터공간이고, $p$에서의 접평면과 같다. 또한 이 벡터공간기저는 $\left\{ \mathbf{x}_{1}(a,b), \mathbf{x}_{2}(a,b) \right\}$이다. 이때 $u_{1}, u_{2}$는 $U$의 좌표이고,

$$ \mathbf{x}_{1} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{1}}\quad \text{and} \quad \mathbf{x}_{2} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{2}} $$


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p83 ↩︎

댓글