단순 곡면 위의 탄젠트 벡터

단순 곡면 위의 탄젠트 벡터

Tangent Vector on Simple Surface

정의1

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좌표조각사상 $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$ 위의 점 $p = \mathbf{x}(a,b)$를 생각해보자. 만약 벡터 $\mathbf{X}$가 $p$를 지나는 어떤 $\mathbf{x}(U)$ 위의 곡선의 $p$에서의 속도 벡터이면 $\mathbf{X}$를 단순 곡면 $\mathbf{x}$에 대한 탄젠트 벡터tangent vector라고 정의한다.

다시 말해 만약 임의의 $\epsilon > 0$에 대해서 적당히 짧은 어느 곡선 $\boldsymbol{\alpha} : (-\epsilon, \epsilon) \to \mathbf{x}(U) \subset \mathbb{R}^{3}$이 존재해서 다음의 조건

$$ \alpha(0) = p \quad \text{and} \quad a^{\prime}(0) = \left. \dfrac{d \alpha}{d t}\right|_{t=0}= \mathbf{X} \quad \text{and} \quad \boldsymbol{\alpha} (t) = \mathbf{x}\left( \alpha_{1}(t), \alpha_{2}(t) \right) $$

을 만족하면 $\mathbf{X}$를 단순 곡면 $\mathbf{x}$에 대한 탄젠트 벡터라고 한다.

설명

위와 같이 정의된 탄젠트 벡터들의 집합은 아래의 정리에 의해 벡터공간이 되고, 이는 실제로 접평면과 같다. 따라서 탄젠트 플랜은 탄젠트 공간tangent space이라 불린다.

  • 곡면 $M$ 위의 점 $p \in M$에서 $M$에 대한 모든 탄젠트 벡터들의 집합을 $T_{p}M$이라고 표기하고 탄젠트 공간tangent space이라 한다.

$$ T_{p}M = \left\{ \text{all vectors tangent to } M \text{ at } p \right\} $$

이러한 정의 방식은 미분다양체 위에서의 탄젠트벡터를 정의할 때도 그대로 사용된다. 처음 이 정의를 볼 때는 굳이 이러한 곡선 $\boldsymbol{\alpha}$를 생각해가면서까지 정의하는 이유가 잘 납득되지 않을 수 있는데, 미분기하를 계속 공부하거나 다양체로의 일반화를 접해보면 자연럽게 받아들여질 것이다.

표기법

탄젠트 벡터의 표기로는 주로 $\mathbf{X}, \mathbf{Y}$를 쓴다. 이는 탄젠트 벡터를 탄젠트 공간의 임의의 원소로서 생각하기 때문인 것 같다.

  • 점 $p$에서의 탄젠트 공간 $T_{p}M$의 임의의 원소인 탄젠트 벡터를 나타낼 때:

    $$ \mathbf{X} = \mathbf{X}_{p} = X^{1} \mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2} = \mathbf{X}^{i}\mathbf{x}_{i} $$

  • 어떤 곡선 $\alpha$에 대한 탄젠트 벡터 필드를 나타날 때:

    $$ \mathbf{T} \quad \text{or} \quad T $$

정리

좌표조각사상 $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$의 점 $p = \mathbf{x}(a,b)$에서의 모든 탄젠트 벡터들의 집합은 벡터공간이다.

증명

벡터공간이 될 조건 중에서 합과 상수곱에 대해서 닫혀있는지만 확인해보면 된다. 탄젠트 벡터들은 $\mathbb{R}^{3}$의 원소이므로, 다른 조건들은 자명하게 성립한다.

$\mathbf{X}$, $\mathbf{Y}$를 점 $p$에서의 탄젠트 벡터라고 하자. 그러면 $\mathbf{x}(U)$ 위의 어떤 곡선 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$에 대해서,

$$ \mathbf{X} = \dot{\boldsymbol{\alpha}}(0), \mathbf{Y} = \dot{\boldsymbol{\beta}}(0) \quad \text{and} \quad \boldsymbol{\alpha}(0) = \boldsymbol{\beta} = p = \mathbf{x}(a,b) $$

이제 $\boldsymbol{\alpha}(t) = \mathbf{x}(\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t))$라고 하자. 그러면 $\mathbf{X}$는, 연쇄법칙에 의해,

$$ \begin{align*} \mathbf{X} = \dot{\boldsymbol{\alpha}}(0) &= \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} (0) \\ &= \dfrac{d \mathbf{x}(\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t))}{d t} (0) \\ &= \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial \alpha^{1}} \dfrac{d \alpha^{1}}{d t}(0) + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial \alpha^{2}} \dfrac{d \alpha^{2}}{d t}(0)\\ \end{align*} $$

$U$의 좌표를 $(u^{1}, u^{2})$라고 하면,

$$ \mathbf{X} = \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{1}} \dfrac{d \alpha^{1}}{d t}(0) + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{2}} \dfrac{d \alpha^{2}}{d t}(0) $$

비슷하게 $\mathbf{Y}$는

$$ \mathbf{Y} = \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{1}} \dfrac{d \beta^{1}}{d t}(0) + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{2}} \dfrac{d \beta^{2}}{d t}(0) $$

이제 또다른 곡선 $\boldsymbol{\gamma}(t) = \mathbf{x}(\alpha^{1}(t)+\beta^{1}(t)-a, \alpha^{2}(t)+\beta^{2}(t)-b)$를 생각하자. 이제 $\dot{\boldsymbol{\gamma}}(0) = \mathbf{X} + \mathbf{Y}$임을 보일 것이다.

$$ \begin{align*} \dot{\boldsymbol{\gamma}} = \dfrac{d \boldsymbol{\gamma}}{d t} &= \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{1}}\left( \dfrac{d \alpha^{1}}{d t} + \dfrac{d \beta^{1}}{d t} \right) + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{1}}\left( \dfrac{d \alpha^{2}}{d t} + \dfrac{d \beta^{2}}{d t} \right) \\ &= \left( \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{1}} \dfrac{d \alpha^{1}}{d t} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{2}} \dfrac{d \alpha^{2}}{d t} \right) + \left( \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{1}} \dfrac{d \beta^{1}}{d t} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{2}} \dfrac{d \beta^{2}}{d t} \right) \end{align*} $$

$$ \implies \dot{\boldsymbol{\gamma}}(0) = \mathbf{X} + \mathbf{Y} $$

그러면 $\boldsymbol{\gamma}(0) = \mathbf{x}(a, b) = p$이고, $\dot{\boldsymbol{\gamma}}(0) = \mathbf{X} + \mathbf{Y}$이므로 $\mathbf{X} + \mathbf{Y}$도 $p$에서의 탄젠트벡터이다.

  • 상수곱

$r \in \mathbb{R}$이고, $\boldsymbol{\eta}(t) = \boldsymbol{\alpha}(rt)$라고 하자. 그러면 작은 $t$에 대해서, $\boldsymbol{\eta}(t)$는 $\mathbf{x}(U)$ 위의 곡선이 된다. 그러면 $\boldsymbol{\eta}(0) = \boldsymbol{\alpha}(0) = p$이고, $\dfrac{d \boldsymbol{\eta}}{d t} = r \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t}$이므로, $\dot{\boldsymbol{\eta}}(0) = r \mathbf{X}$이다. 따라서 $r \mathbf{X}$도 탄젠트 벡터이다.

탄젠트 벡터들의 집합이 합과 상수곱에 대해서 닫혀있으므로, 이는 벡터공간이다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p83 ↩︎

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