접평면과 노멀 벡터

접평면과 노멀 벡터

정의 1

$2$차원 유클리드 공간개집합 $U \subset \mathbb{R}^{2}$ 이 두 좌표 $u_{1}$, $u_{2}$ 를 가졌다고 할 때, $\mathbf{x}_{1}$, $\mathbf{x}_{2}$를 다음과 같이 단순곡면 $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$의 방향 편미분들이라고 하자.

$$ \begin{align*} \mathbf{x}_{1} := {{ \partial \mathbf{x} } \over { \partial u_{1} }} & , & \mathbf{x}_{2} := {{ \partial \mathbf{x} } \over { \partial u_{2} }} \end{align*} $$

  1. 점 $P = \mathbf{x} (a,b)$ 에서 $\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2}$ 와 수직평면을 $P$ 에서 $\mathbf{x}$ 의 접평면Tangent Plane이라 한다.
  2. 다음과 같이 정의된 $\mathbf{n}$ 을 $P$ 에서의 단위 노멀Unit Normal이라 한다. $$ \mathbf{n}(a,b) := {{ \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} } \over { \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right| }} $$

설명

곡선에서 접선을 생각했던것과 마찬가지로 곡면에서 접평면을 생각하는 것은 아주 자연스러운 일이다.

단순곡면의 정의에서 $\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \ne 0$ 이므로 노멀 $\mathbf{n}$ 의 존재성은 항상 보장된다.

$\mathbf{x} : U\subset \R^{2} \to M$과 같이 주어진 곡면위의 $P$ 점에서의 접평면을 다음과 같이 표기한다.

$$ T_{P}M $$

다음의 정리로부터, 접평면은 탄젠트 벡터들의 집합과 같으며 벡터공간이 됨을 알 수 있다. 이러한 이유로 접평면은 탄젠트 공간tangent space이라 불린다.

정리

단순 곡면 $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$의 점 $P = \mathbf{x}(a,b)$에서의 모든 탄젠트 벡터들의 집합은 벡터공간이고, $P$에서의 접평면과 같다. 또한 이 벡터공간기저는 $\left\{ \mathbf{x}_{1}(a,b), \mathbf{x}_{2}(a,b) \right\}$이다.


  1. Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p81. ↩︎

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