평면곡선의 탄젠트, 노멀, 곡률

평면곡선의 탄젠트, 노멀, 곡률

정의 1

단위 스피드 평면 곡선 $\alpha : (a,b) \to \mathbb{R}^{2}$ 가 주어져 있다고 하자.

  1. 탄젠트 (벡터 필드)를 $t (s) := \alpha^{\prime} (s)$ 와 같이 정의한다.
  2. $\left\{ t(s), n(s) \right\}$ 가 $\mathbb{R}^{2}$ 의 시계반대방향 기저가 되게끔 하는 유일한 벡터 필드 $n(s)$ 를 노멀 (벡터 필드)라 정의한다.
  3. 평면 곡률을 $k(s) := \left< t^{\prime}(s) , n (s) \right>$ 와 같이 정의한다.

기초 성질

설명

프레네-세레 도구와 비슷하지만, 평면이니만큼 새롭게 정의된 것을 볼 수 있다.

특히 곡률의 경우 국소 곡선 이론과 달리 꼭 양수일 필요는 없다. $k > 0$ 면 곡선은 $n$ 의 방향으로 가까워지려 하고, $k<0$ 면 $n$ 에서 멀어지려고 한다.

이러한 평면 곡선을 생각하는 이유는 3차원 곡선의 전역적인 기하를 생각하려 할 때 막연히 ‘돈다’는 말을 생각할 수가 없기 때문이다.


  1. Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p52. ↩︎

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