접선과 탄젠트 벡터 필드

접선과 탄젠트 벡터 필드

Tangent line and tangent vector Field

정의

정칙 곡선 $\alpha(t)$ 이 주어져 있다고 하자.

  1. 벡터 필드 $\displaystyle T(t) := {{ d \alpha / d t } \over { \left| d \alpha / d t \right| }}$ 를 탄젠트 벡터 필드Tangent Vector Field라 한다.
  2. 다음과 같이 정의된 직선 $l$ 을 $t = t_{0}$ 에서 $\alpha$ 의 접선Tangent Line이라 한다. $$ l := \left\{ \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{3} : \mathbf{w} = \alpha \left( t_{0} \right) + \lambda T \left( t_{0} \right) , \lambda \in \mathbb{R} \right\} $$

설명

탄젠트 벡터 필드는 미분기하학에서 대단히 중요한 벡터 함수로써, 정칙 곡선의 접선의 방향을 고려하되 그 크기를 $1$ 로 통일하고 있다. 실제로 곡선이 얼마나 급하게 꺾이는지와는 관계 없이 오로지 방향만을 나타낸다.

댓글