미분다양체 위의 탄젠트 번들

미분다양체 위의 탄젠트 번들

Tangent bundle of Differentiable Manifold

정의1

$M$을 $n$차원 미분다양체라고 하자. 점 $p \in M$에서의 탄젠트공간을 $T_{p}M$이라 하자. $M$의 탄젠트 번들tangent bundle, 접다발 $TM$을 다음과 같이 정의한다.

$$ \begin{align*} TM &:= \bigsqcup \limits_{p \in M } T_{p}M \\ &= \bigcup_{p \in M} \left\{ p \right\} \times T_{p}M \\ &= \left\{ (p, v) : p \in M, v \in T_{p}M \right\} \end{align*} $$

이때 $\bigsqcup$은 분리합집합이다.

설명

정의에 의해 탄젠트 번들은 미분다양체 $M$ 위의 모든 점과 그 점에서의 모든 탄젠트 벡터들의 순서쌍들의 집합이다. 분리합집합 문서를 참고해보면 알겠지만, $(p,v)$과 $v$사이의 자연스러운 매핑을 생각할 수 있어 이 둘을 사실상 같은 것으로 취급하기에 $\bigsqcup$ 대신 $\bigcup$으로 나타내기도 한다.

$$ TM := \bigcup_{p \in M} T_{p}M $$

$M$이 $n$차원 미분다양체이면, $TM$은 그 자체로 다시 $2n$차원 미분다양체가 된다.


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p15-16 ↩︎

댓글