삼각함수 적분 표

Table of Integrals with Trigonometric Functions

공식1

$$ \int_{0}^{\pi / 2} \sin \theta \cos \theta d \theta = \dfrac{1}{2} $$

증명

$\cos \theta \equiv x$으로 치환하면 적분 요소들은 다음과 같이 바뀐다.

$$ -\sin \theta d\theta = dx \quad \text{and} \quad \int_{\theta=0}^{\pi/2} = \int_{x = 1}^{0} $$

따라서

$$ \int_{0}^{\pi / 2} \sin \theta \cos \theta d \theta = \int_{1}^{0} - x dx = \int_{0}^{1}x dx = \left[ \dfrac{1}{2}x^{2} \right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2} $$

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