T1-공간인 것과 모든 유한부분집합이 닫혀있는 것은 동치다

T1-공간인 것과 모든 유한부분집합이 닫혀있는 것은 동치다

정리

$X$ 가 $T_{1}$-공간인 것과 필요충분조건은 $X$ 의 모든 홑원소집합 $\left\{ x \right\}$ 가 $X$ 에서 닫힌 집합인 것이다.

증명

$(\Rightarrow)$

$T_{1}$-공간 $X$ 에 대해 $x \in X$, $x' \in X \setminus \left\{ x \right\}$ 라고 두면 $x \ne x'$ 이다. $X$ 는 $T_{1}$-공간이므로, $x' \in U_{x'}$ 이면서 $x \notin U_{x'}$ 인 열린 집합 $U_{x'} \subset X$ 이 존재한다. 정리하면 $$ x' \in U_{x'} \subset X \setminus \left\{ x \right\} $$ 이고, $$ X \setminus \left\{ x \right\} = \bigcup_{x' \in X \setminus \left\{ x \right\} } U_{x'} $$ 는 열린 집합이다. 따라서 홑원소집합 $\left\{ x \right\}$ 은 $X$ 에서 닫힌 집합이다.


$(\Leftarrow)$

$X$ 의 모든 홑원소집합은 $X$ 에서 닫힌 집합이므로, $x_{1} \ne x_{2}$ 에 대해 $\left\{ x_{1} \right\}$, $\left\{ x_{2} \right\}$ 는 $X$ 에서 닫힌 집합이다. 그러면 $$ U_{1} := X \setminus \left\{ x_{1} \right\} \\ U_{2} := X \setminus \left\{ x_{2} \right\} $$ 는 $X$ 에서 열린 집합이다. 한편 $$ x_{2} \in U_{1} x_{1} \in U_{2} $$ 이므로 $X$ 는 $T_{1}$-공간이다.

설명

닫힌 집합의 합집합은 여전히 닫힌 집합이므로, 모든 유한부분집합은 닫혀있는 것과 동치라고 해도 좋다.

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