1계 선형 미분 방정식 시스템

1계 선형 미분 방정식 시스템

빌드업1

질량이 $m$, 감쇠인자가 $\gamma$, 용수철 상수가 $k$일 때, 스프링에 매달린 물체의 진동을 나타내는 운동 방정식은 아래와 같다.

$$ m x^{\prime \prime} + \gamma x^{\prime} + kx = F $$

$x_{1}=x$, $x_{2}=x_{1}^{\prime}$라고 두면 위의 운동 방정식을 아래와 같은 시스템으로 표현할 수 있다.

$$ \begin{align*} x_{1}^{\prime}(t) =&\ x_{2}(t) \\ x_{2}^{\prime} (t) =&\ x_{1}^{\prime \prime}(t) = -\dfrac{\gamma}{m}x_{2}(t)-\dfrac{k}{m}x_{1}(t)-\dfrac{1}{m}F(t) \end{align*} $$

이를 아래와 같이 행렬로 나타낼 수 있다.

$$ \begin{align*} && \begin{pmatrix}x_{1}^{\prime} \\ x_{2}^{\prime}\end{pmatrix} =&\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\dfrac{k}{m} & -\dfrac{\gamma}{m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -\dfrac{1}{m}F \end{pmatrix} \\ \implies&& \mathbf{x}^{\prime}(t) =&\ A\mathbf{x}(t)+g(t) \end{align*} $$

$g(t)=0$인 동차 방정식의 경우 2계 미분 방정식의 풀이가 $\mathbf{x}^{\prime}=A\mathbf{x}$인 행렬곱을 풀어내는 문제로 단순해지는 것을 알 수 있다.

일반화

$x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$을 $t$에 대한 함수라고 하자. $F_{1}$, $F_{2}$, $\cdots$, $F_{n}$을 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$에 대한 함수라고 하자. 그러면 $x_i(t),$ $1\le i \le n$에 대한 1계 미분 방정식 시스템은 아래와 같다.

1계 미분 방정식 시스템

$$ \begin{align*} x_{1}^{\prime}(t) =&\ F_{1}(t,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) \\ x_{2}^{\prime}(t) =&\ F_{2}(t,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) \\ \vdots & \\ x_{n}^{\prime}(t) =&\ F_{n}(t,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) \end{align*} $$

이 때 각각의 $F_{i}$가 선형이면 선형 시스템이라 부르고 그렇지 않으면 비선형 시스템이라 부른다. 1계 선형 미분 방정식 시스템의 더 일반적인 꼴은 아래와 같다.

$$ \begin{align*} x_{1}^{\prime}(t) =&\ p_{11}(t)x_{1}(t)+\cdots p_{1n}(t)x_{n}(t) + g_{1}(t) \\ x_{2}^{\prime}(t) =&\ p_{21}(t)x_{1}(t)+\cdots p_{2n}(t)x_{n}(t) + g_{2}(t) \\ \vdots & \\ x_{n}^{\prime}(t) =&\ p_{n1}(t)x_{1}(t)+\cdots p_{nn}(t)x_{n}(t) + g_{n}(t) \end{align*} $$

각각의 $g_{i}(t)$가 $0$이면 동차 시스템, 그렇지 않으면 비동차 시스템이라 부른다.


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p281-283 ↩︎

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