곡률이 0인 회전면

곡률이 0인 회전면

Surface of Revolution Which Has Zero Curvature

정리1

$M$을 단위속력곡선 $\alpha$의 회전면이고 가우스 곡률이 $K=0$이라고 하자. 그러면 $M$은 다음의 경우 중 하나를 만족한다.

  • 원통의 한 부분이다.
  • 평면의 한 부분이다.
  • 원뿔의 한 부분이다.

더욱이 이 곡면은 국소적으로 등거리 이다.

증명

$$ 0 = \kappa = -\dfrac{r^{\prime \prime}}{r} \implies r^{\prime \prime}(s) = 0 \implies r^{\prime}(s) = a \implies r(s) = as + b $$

$$ z^{\prime} = \pm \sqrt{1 - (r^{\prime})^{2}} = \pm \sqrt{1 - a^{2}} \\ z = \pm \sqrt{1-a^{2}}s + d = cs + d $$

$$ \alpha(s) = (as + b, cs + d) a,b,c,d \in \mathbb{R} $$

If $a=0$, $\alpha(s) = (b, cs + d)$ 원통

If $c=0$, $\alpha(s) = (as + b, d)$ 평면

If $a\ne 0, c\ne 0$, $\alpha(s) = (as + b, cs + d)$

Case $\kappa = -a^{2} \lt 0$

$r^{\prime \prime} - a^{2}r = 0$

$r(s) = c_{1}\cosh(as) + c_{2}\sinh(as) = \begin{cases} \sqrt{c_{1}^{2} - c_{2}^{2}} \left( \dfrac{c_{1}}{c_{1}^{2} - c_{2}^{2}} \cosh (as) + \dfrac{c_{2}}{\sqrt{c_{1}^{2}-c_{2}^{2}}} \sinh (as)\right) = \sqrt{}(\cosh (b)=A \cosh (as) + \sinh (b)=B \sinh (as)) = B \cosh (as + b) & if c_{1} \gt c_{2} \\ c_{1}\left( \cosh (as) + \sinh (as) \right) = c_{1} \left( \dfrac{e^{as} + e^{-as}}{2} + \dfrac{e^{as}-e^{-as}}{2}\right) = c_{1}e^{as} = A e^{as} & if c_{1}=c_{2}=A \\ \sqrt{c_{2}^{2} - c_{1}^{2}} \left( \dfrac{c_{1}}{c_{1}^{2} - c_{2}^{2}} \cosh (as) + \dfrac{c_{2}}{\sqrt{c_{1}^{2}-c_{2}^{2}}} \sinh (as)\right) = \sqrt{}(\sinh (b) \cosh (as) + \cosh (b) \sinh (as)) = C` \cosh (as + b) & if c_{1} \lt c_{2} \end{cases}$

첫번째 경우만 해보자.

$A a e^{at} \le 1$ 로그 붙이면 $at \le \dfrac{1}{a}\ln \dfrac{1}{aA}$

이제 $Aae^{at} = \sin \phi$라고 두자. 그러면 $A a^{2} e^{at} dt = \cos \phi d \phi$

$$ \begin{align*} z(s) =&\ \pm \int _{\sin^{-1}(Aa)}^{\sin^{-1}(Aae^{as})} \cos \phi \dfrac{\cos \phi}{a \sin \phi} d\phi \\ =&\ \pm\dfrac{1}{a} \int _{\sin^{-1}(Aa)}^{\sin^{-1}(Aae^{as})} \dfrac{1}{\sin\phi} - \sin \phi d \phi \\ =&\ \pm \dfrac{1}{a} \left[ \ln (\tan \frac{\phi}{2}) + \cos \phi \right]_{\sin^{-1}(Aa)}^{\sin^{-1}(Aae^{as})} \\ \end{align*} $$ 0 $= \pm \dfrac{1}{a} \left( \ln \dfrac{\tan \frac{1}{2}\sin^{-1}(Aae^{as}){\tan \frac{1}{2} \sin ^{-1}(Aa)} + \sqrt{1 - (Aae^{as})^{2} - \sqrt{1 - (Aa)^{2}} \right)$


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p155-156 ↩︎

댓글