회전면과 가우스 곡률

회전면과 가우스 곡률

Surface of Revolution and Gaussian Curvature

정리1

$M$을 단위속력곡선 $\boldsymbol{\alpha}(s)$로 만들어지는 회전면이고, 가우스 곡률이 양수인 상수 $K = a^{2}$이라고 하자. 그러면 $\boldsymbol{\alpha}(s) = \left( r(s), z(s) \right)$는 다음과 같이 주어진다.

$$ \begin{align*} r(s) &= A\cos (as),\quad \left| s \right| \lt \pi/2a \\ z(s) &= \pm \int_{0}^{s} \sqrt{1 - a^{2}A^{2} \sin^{2}(at)}dt + C \end{align*} $$

여기서 $A > 0, C$는 상수이다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p154 ↩︎

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