함수의 서포트와 연속함수 공간의 클래스

함수의 서포트와 연속함수 공간의 클래스

정의

함수공간 $\mathbb{C}^{\mathbb{R}}$ 의 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ 를 생각해보자.

$$ C^{\infty}(\mathbb{R})=\bigcap _{m=0}^{\infty}C^{m}(\mathbb{R}) $$

이때 $C^{\infty}$ 의 원소를 스무스 함수smooth function라고 한다.

저자에 따라 $C_{0}$를 $C_{c}$ 의 의미로 쓰는 경우도 있으므로 교재에서 정의된 노테이션을 잘 확인하도록 하자.

설명

소볼레프 공간, 초함수론 등에서는 $C_{c}^{\infty}$를 주로 다루게 된다.

자명하게도 $C_{c} (\mathbb{R})$ 은 $C_{0} (\mathbb{R})$ 의 부분 공간이 된다. 둘 모두 그냥 연속함수의 공간인 $C (\mathbb{R})$ 에 비하면 좋은 공간이지만, 작용소놈 $\left\| \cdot \right\|_{\infty} $에 대해 바나흐 공간이 되지 못함에 주의해야한다. 가령 다음과 같은 $\left\{ f_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset C_{c} (\mathbb{R})$ 을 생각해보면

$$ f_{k} (x) := \begin{cases} {{ \sin x } \over { x }} \chi_{[ - k \pi , k \pi ]} (x) & , x \ne 0 \\ 1 & , x = 0 \end{cases} $$

$f_{k}$ 는 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 컴팩트 서포트 $[-k \pi , k \pi]$ 를 갖지만 다음과 같은 싱크함수 $\text{sinc} \in C_{0} (\mathbb{R}) \setminus C_{c} (\mathbb{R})$ 로 수렴한다.

$$ \text{sinc} x = \begin{cases} {{ \sin x } \over { x }} & , x \ne 0 \\ 1 & , x = 0 \end{cases} $$

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