함수의 서포트와 연속함수 공간의 클래스
Support and classes of Continuous Functions
정의
함수공간 $\mathbb{C}^{\mathbb{R}}$ 의 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ 를 생각해보자.
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함수 $f$ 의 서포트support란 다음과 같이 함수값이 $0$ 이 아닌 점들의 집합에 클로져를 취한 클로즈 셋이다. $$ \text{supp} f = \overline{\left\{ x \in \mathbb{R} : f(x) \ne 0 \right\}} $$
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$\text{supp} f$ 가 유계면 $f$ 가 컴팩트 서포트를 갖는다고 한다. 클로져는 닫힌 집합이고, 실수 공간에서 닫혀있고 유계인 집합은 컴팩트이기 때문이다.
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$U\Subset V$ 는 $\overline{U} \subset V$이고 $\overline{U}$가 컴팩트임을 뜻한다. 즉, $\mathrm{supp}(f) \Subset U$ 는 $f$가 $U$에서 컴팩트 서포트를 가짐을 의미한다. $\subset \subset$으로 쓰기도 한다.
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연속함수들의 집합은 벡터 공간이 되며 이를 연속함수공간이라 부르고 다음과 같이 표기한다.
$$ C(\mathbb{R}) := \left\{f \text{ is continuous} \right\} $$
$C^{1}$과 헷갈릴 여지가 있으면 $C^{0}$이라고 쓴다.
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컴팩트 서포트를 갖는 연속함수들의 벡터 공간을 다음과 같이 표기한다.
$$ C_{c} (\mathbb{R}) := \left\{ f \in C(\mathbb{R}) : f \text{ has compact support} \right\} $$
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$x \to \pm \infty$ 일 때 함수값이 $0$ 으로 수렴하는 연속함수들의 벡터 공간을 다음과 같이 표기한다.
$$ C_{0} ( \mathbb{R} ) := \left\{ f \in C(\mathbb{R}) : f(x) \to 0 \text{ as } x \to \pm \infty \right\} $$
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$m$번까지 미분 가능하고, 그 도함수들이 모두 연속인 연속함수들의 벡터 공간을 다음과 같이 표기한다.
$$ C^{m}(\mathbb{R}) :=\left\{ f \in C(\mathbb{R}) : f^{(n)} \text{ is continuous } \forall n \le m \right\} $$
이때$C^{0}(\mathbb{R})$은 $C(\mathbb{R})$ 을 의미한다. 이때 $C^{m}$ 의 원소를 $m$-번 연속적으로 미분가능한 함수continuously differentiable function이라 한다.
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무한히 미분 가능하고, 그 도함수들이 모두 연속인 연속함수들의 벡터 공간을 다음과 같이 표기한다.
$$ C^{\infty}(\mathbb{R})=\bigcap _{m=0}^{\infty}C^{m}(\mathbb{R}) $$
이때 $C^{\infty}$ 의 원소를 스무스 함수smooth function라고 한다.
저자에 따라 $C_{0}$를 $C_{c}$ 의 의미로 쓰는 경우도 있으므로 교재에서 정의된 노테이션을 잘 확인하도록 하자.
설명
소볼레프 공간, 초함수론 등에서는 $C_{c}^{\infty}$를 주로 다루게 된다.
자명하게도 $C_{c} (\mathbb{R})$ 은 $C_{0} (\mathbb{R})$ 의 부분 공간이 된다. 둘 모두 그냥 연속함수의 공간인 $C (\mathbb{R})$ 에 비하면 좋은 공간이지만, 작용소놈 $\left\| \cdot \right\|_{\infty} $에 대해 바나흐 공간이 되지 못함에 주의해야한다. 가령 다음과 같은 $\left\{ f_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset C_{c} (\mathbb{R})$ 을 생각해보면
$$ f_{k} (x) := \begin{cases} {{ \sin x } \over { x }} \chi_{[ - k \pi , k \pi ]} (x) & , x \ne 0 \\ 1 & , x = 0 \end{cases} $$
$f_{k}$ 는 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 컴팩트 서포트 $[-k \pi , k \pi]$ 를 갖지만 다음과 같은 싱크함수 $\text{sinc} \in C_{0} (\mathbb{R}) \setminus C_{c} (\mathbb{R})$ 로 수렴한다.
$$ \text{sinc} x = \begin{cases} {{ \sin x } \over { x }} & , x \ne 0 \\ 1 & , x = 0 \end{cases} $$