쌍곡함수의 합차공식과 곱셈공식

쌍곡함수의 합차공식과 곱셈공식

sum to product identities and product to sum identities for hyperbolic funtions

공식

  • 합차공식:

$$ \begin{align} \sinh x +\sinh y =&\ 2\sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right) \\[1em] \sinh x -\sinh y =&\ 2\sinh \left(\frac{x-y}{2}\right) \cosh \left( \frac{x+y}{2} \right) \\[1em] \cosh x + \cosh y =&\ 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right) \\[1em] \cosh x -\cosh y =&\ 2 \sinh \left( \frac{x+y}{2} \right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right) \end{align} $$

  • 곱셈공식:

$$ \begin{align} \sinh x \sinh y =&\ \frac{\cosh (x+y)-\cosh (x-y)}{2} \\ \sinh x \cosh y =&\ \frac{\sinh (x+y)+\sinh (x-y)}{2} \\ \cosh x \sinh y =&\ \frac{\sinh (x+y)-\sinh (x-y)}{2} \\ \cosh x \cosh y =&\ \frac{\cosh (x+y)+\cosh (x-y)}{2} \end{align} $$

설명

증명 과정은 삼각함수의 합차 공식을 유도한 것과 같으므로 구체적으로 소개하지는 않겠다.

증명

증명 $(1)-(4)$

덧셈 정리에 의해서

$$ \begin{align*} \sinh (x + y) =&\ \sinh x \cosh y + \sinh y \cosh x \\ \sinh (x - y) =&\ \sinh x \cosh y - \sinh y \cosh x \end{align*} $$

$x=\frac{z+w}{2}$, $y=\frac{z-w}{2}$라고 치환하면 위의 식은

$$ \begin{align*} \sinh z =&\ \sinh \frac{z+w}{2} \cosh \frac{z-w}{2} + \sinh \frac{z-w}{2} \cosh \frac{z+w}{2} \\ \sinh w =&\ \sinh \frac{z+w}{2} \cosh \frac{z-w}{2} - \sinh \frac{z-w}{2} \cosh \frac{z+w}{2} \end{align*} $$

위의 식을 더하고 빼면 각각 아래와 같다.

$$ \begin{align*} \sinh z+\sinh w =&\ 2\sinh \frac{z+w}{2} \cosh \frac{z-w}{2} \\ \sinh z -\sinh w =&\ 2\sinh \frac{z-w}{2} \cosh \frac{z+w}{2} \end{align*} $$

나머지도 같은 방식으로 얻을 수 있다.

증명 $(5)-(8)$

덧셈정리에 의해서

$$ \begin{align*} \cosh (x + y) =&\ \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \\ \cosh (x - y) =&\ \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \end{align*} $$

위 식에서 아래 식을 빼면

$$ \begin{align*} &&\cosh (x+y)-\cosh (x-y)=&\ 2\sinh x \sinh y \\ \implies && \sinh x \sinh y =&\ \frac{\sinh (x+y)+\sinh (x-y)}{2} \end{align*} $$

나머지도 같은 방식으로 얻을 수 있다.

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