삼각함수의 합차공식과 곱셈공식

삼각함수의 합차공식과 곱셈공식

sum to product identities amp; product to sum identities

합차/곱셈 공식은 자주 쓰이지 않아서 배각/반각 공식보다 중요하지는 않다. 하지만 그렇다고 해서 아예 필요 없는 것도 아니다. 유도과정이 정말 쉬우므로 익혀두고 후에 필요할 때 마다 바로 유도해서 쓸 수 있으면 좋다. 덧셈정리만을 이용해서 유도한다.

덧셈 정리

$$ \begin{align*} \sin ( \theta_{1} \pm \theta_{2}) =&\ \sin \theta_{1} \cos \theta_{2} \pm \sin \theta_{2} \cos \theta_{2} \\ \cos ( \theta_{1} \pm \theta_{2}) =&\ \cos \theta_{1} \cos\theta_{2} \mp \sin\theta_{1} \sin\theta_{2} \\ \tan ( \theta_{1} \pm \theta_{2}) =&\ \dfrac{\tan\theta_{1} \pm \tan\theta_{2}}{1 \mp \tan\theta_{1}\tan\theta_{2}} \end{align*} $$

합차 공식sum-to-product identities

$$ \begin{align*} \sin A + \sin B =&\ 2 \sin \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} \\ \sin A - \sin B =&\ 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{A-B}{2} \\ \cos A + \cos B =&\ 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} \\ \cos A - \cos B =&\ -2 \sin \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{A-B}{2} \end{align*} $$

유도

길긴한데 어렵진 않다.

$$ \begin{align} \sin (A+B) =&\ \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ \sin (A-B) =&\ \sin A \cos B - \cos A \sin B \\ \cos (A+B) =&\ \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos (A-B) =&\ \cos A \cos B + \sin A \sin B \end{align} $$

$A \equiv \dfrac{x+y}{2}$, $B \equiv \dfrac{x-y}{2}$라고 치환하고 $(1)$ ~ $(4)$에 대입하면 다음과 같다.

$$ \begin{align} \sin x =&\ \sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} + \cos \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} \\ \sin y =&\ \sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} - \cos \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} \\ \cos x =&\ \cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} - \sin \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} \\ \cos y =&\ \cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} + \sin \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} \end{align} $$

$(5)+(6)$을 계산하면 아래의 식을 얻는다.

$$ \sin x + \sin y = 2\sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} $$

$(5)-(6)$을 계산하면 아래의 식을 얻는다.

$$ \sin x + \sin y = 2\cos \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} $$

$(7)+(8)$을 계산하면 아래의 식을 얻는다.

$$ \cos x + \cos y= 2\cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} $$

$(7)-(8)$을 계산하면 아래의 식을 얻는다.

$$ \cos x - \cos y= -2\sin \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} $$

이제 다시 $x \equiv A$, $y \equiv B$로 치환하면 다음의 결과를 얻는다.

$$ \begin{align*} \sin A + \sin B =&\ 2 \sin \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} \\ \sin A - \sin B =&\ 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{A-B}{2} \\ \cos A + \cos B =&\ 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} \\ \cos A - \cos B =&\ -2 \sin \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{A-B}{2} \end{align*} $$

곱셈 공식product-to-sum identities

$$ \begin{align*} \sin A \cos B =&\ \dfrac{1}{2} \left[ \sin(A+B) + \sin (A-B) \right] \\ \cos A \sin B =&\ \dfrac{1}{2} \left[ \sin(A+B) - \sin (A-B) \right] \\ \cos A \cos B =&\ \dfrac{1}{2} \left[ \cos(A+B) + \cos (A-B) \right] \\ \sin A \sin B =&\ -\dfrac{1}{2} \left[ \cos(A+B) - \cos (A-B) \right] \end{align*} $$

유도

삼각함수의 덧셈정리로부터 간단하게 유도할 수 있다. $$ \begin{align} \sin (A+B) =&\ \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ \sin (A-B) =&\ \sin A \cos B - \cos A \sin B \\ \cos (A+B) =&\ \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos (A-B) =&\ \cos A \cos B + \sin A \sin B \end{align} $$

$(9) + (10)$을 계산하면 다음과 같다.

$$ \sin (A+B) + \sin(A-B) = 2\sin A \cos B \\ \implies \sin A \cos B = \dfrac{1}{2} \left[ \sin(A+B) + \sin (A-B) \right] $$

$(9) - (10)$을 계산하면 다음과 같다.

$$ \sin (A+B) - \sin(A-B) = 2\cos A \sin B \\ \implies \cos A \sin B = \dfrac{1}{2} \left[ \sin(A+B) - \sin (A-B) \right] $$

$(11) + (12)$를 계산하면 다음과 같다.

$$ \cos (A+B) + \cos (A-B) = 2 \cos A \cos B \\ \implies \cos A \cos B = \dfrac{1}{2} \left[ \cos(A+B) + \cos (A-B) \right] $$

$(11) - (12)$를 계산하면 다음과 같다.

$$ \cos (A+B) - \cos (A-B) =-2 \sin A \sin B \\ \implies \sin A \sin B = -\dfrac{1}{2} \left[ \cos(A+B) - \cos (A-B) \right] $$

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