카이제곱분포의 충분통계량

카이제곱분포의 충분통계량

Sufficient Statistic of Chi square Distribution

정리

카이제곱분포를 따르는 랜덤샘플 $\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \chi^{2} (r)$ 이 주어져 있다고 하자. $r$ 에 대한 충분통계량 $T$ 는 다음과 같다. $$ T = \left( \prod_{i} X_{i} \right) $$

증명

감마 분포와 카이제곱 분포의 관계: $$ \Gamma \left( { r \over 2 } , 2 \right) \iff \chi ^2 (r) $$

감마분포의 충분통계량: 감마분포를 따르는 랜덤샘플 $\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \Gamma \left( k, \theta \right)$ 이 주어져 있다고 하자.

$\left( k, \theta \right)$ 에 대한 충분통계량 $T$ 는 다음과 같다.

$$ T = \left( \prod_{i} X_{i}, \sum_{i} X_{i} \right) $$

카이제곱분포는 본질적으로 감마분포고, 감마분포에서 $k = r/2$ 에 대한 충분통계량이 $\prod_{i} X_{i}$ 이므로 카이제곱분포의 충분통계량 역시 $\prod_{i} X_{i}$ 이다.

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