정규분포의 충분통계량과 최소우도추정량 📂분포이론

정규분포의 충분통계량과 최소우도추정량

Sufficient Statistic and MLE of Normal Distribution

정리

정규분포를 따르는 랜덤샘플 $\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim N \left( \mu , \sigma^{2} \right)$ 이 주어져 있다고 하자.

$\left( \mu, \sigma^{2} \right)$ 에 대한 충분통계량 $T$ 와 최대우도추정량 $\left( \hat{\mu}, \widehat{\sigma^{2}} \right)$ 는 다음과 같다. $$ \begin{align*} T =& \left( \sum_{k} X_{k}, \sum_{k} X_{k}^{2} \right) \\ \left( \hat{\mu}, \widehat{\sigma^{2}} \right) =& \left( {{ 1 } \over { n }} \sum_{k} X_{k}, {{ 1 } \over { n }} \sum_{k} \left( X_{k} - \overline{X} \right)^{2} \right) \end{align*} $$

증명

충분통계량

$$ \begin{align*} f \left( \mathbf{x} ; \lambda \right) =& \prod_{k=1}^{n} f \left( x_{k} ; \lambda \right) \\ =& \prod_{k=1}^{n} {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi} \sigma }} \exp \left[ - {{ 1 } \over { 2 }} \left( {{ x_{k} - \mu } \over { \sigma }} \right)^{2} \right] \\ =& {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi}^{n} \sigma^{n} }} \exp \left[ - {{ 1 } \over { 2 \sigma^{2} }} \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2} \right] \exp \left[ {{ 1 } \over { \sigma^{2} }} \sum_{k=1}^{n} \mu x_{k} \right] \exp \left[ - {{ 1 } \over { 2 \sigma^{2} }} n \mu^{2} \right] \\ \overset{\mu}{=}& \exp \left[ {{ \mu } \over { \sigma^{2} }} \sum_{k=1}^{n} x_{k} - {{ 1 } \over { 2 \sigma^{2} }} n \mu^{2} \right] \cdot {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi}^{n} \sigma^{n} }} \exp \left[ - {{ 1 } \over { 2 \sigma^{2} }} \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2} \right] \\ \overset{\sigma}{=}& {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi}^{n} \sigma^{n} }} \exp \left[ - {{ 1 } \over { 2 \sigma^{2} }} \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2} \right] \exp \left[ {{ 1 } \over { \sigma^{2} }} \sum_{k=1}^{n} \mu x_{k} \right] \exp \left[ - {{ 1 } \over { 2 \sigma^{2} }} n \mu^{2} \right] \cdot 1 \end{align*} $$

네이만 인수분해 정리: 랜덤 샘플 $X_{1} , \cdots , X_{n}$ 이 모수 $\theta \in \Theta$ 에 대해 같은 확률질량/밀도함수 $f \left( x ; \theta \right)$ 를 가진다고 하자. 통계량 $Y = u_{1} \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right)$ 이 $\theta$ 의 충분통계량인 것은 다음을 만족하는 음이 아닌 두 함수 $k_{1} , k_{2} \ge 0$ 이 존재하는 것이다. $$ f \left( x_{1} ; \theta \right) \cdots f \left( x_{n} ; \theta \right) = k_{1} \left[ u_{1} \left( x_{1} , \cdots , x_{n} \right) ; \theta \right] k_{2} \left( x_{1} , \cdots , x_{n} \right) $$ 단, $k_{2}$ 는 $\theta$ 에 종속되지 않아야한다.

네이만 인수분해 정리에 따라 $T := \left( \sum_{k} X_{k}, \sum_{k} X_{k}^{2} \right)$ 는 $\left( \mu, \sigma^{2} \right)$ 에 대한 충분통계량이다.

최대우도추정량

$$ \begin{align*} \log L \left( \mu, \sigma^{2} ; \mathbf{x} \right) =& \log f \left( \mathbf{x} ; \mu, \sigma^{2} \right) \\ =& - n \log \sigma \sqrt{2 \pi} - {{ 1 } \over { 2 \sigma^{2} }} \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2} + {{ 1 } \over { \sigma^{2} }} \sum_{k=1}^{n} \mu x_{k} - {{ 1 } \over { 2 \sigma^{2} }} n \mu^{2} \end{align*} $$

랜덤샘플의 로그우도함수는 위와 같고, 우도함수가 최대값이 되려면 $\mu, \sigma$ 에 대한 편미분이 $0$ 이 되어야 한다. 먼저 $\mu$ 에 대한 편미분이 $0$ 이려면 $$ \begin{align*} & 0 = {{ 1 } \over { \sigma^{2} }} \sum_{k=1}^{n} x_{k} - {{ 1 } \over { \sigma^{2} }} n \mu \\ \implies & \mu = {{ 1 } \over { n }} \sum_{k=1}^{n} x_{k} \end{align*} $$

이므로, $\sigma$ 에 관계 없이 $\hat{\mu} = \sum_{k=1}^{n} X_{k} / n$ 이고 $\sigma$ 에 대한 편미분이 $0$ 이려면 $$ \begin{align*} & 0 = - {{ n } \over { \sigma }} + {{ 1 } \over { \sigma^{3} }} \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2} - {{ 2 } \over { \sigma^{3} }} \sum_{k=1}^{n} \mu x_{k} + {{ 1 } \over { \sigma^{3} }} n \mu^{2} \\ \implies & n \sigma^{2} = \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2} - 2 \sum_{k=1}^{n} \mu x_{k} + n \mu^{2} \\ \implies & \sigma^{2} = {{ 1 } \over { n }} \sum_{k=1}^{n} \left( x_{k} - \mu \right)^{2} \end{align*} $$

이므로, $\hat{\mu} = \hat{\mu} = \sum_{k=1}^{n} X_{k} / n$ 에 대해 $\widehat{\sigma^{2}} = \sum_{k=1}^{n} \left( X_{k} - \mu \right)^{2} / n$ 이다.

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