위상수학에서의 부분기저

위상수학에서의 부분기저

정의 1

위상공간 $\left( X , \mathscr{T} \right)$ 에 대해 $\mathscr{S} \subset \mathscr{T}$ 이라 하자.

$\displaystyle \mathscr{B} = \left\{ \left. B = \bigcap_{ i = 1}^{n} S_{i} \ \right| \ S_{i} \in \mathscr{S} \right\}$ 가 $\mathscr{T}$ 의 기저가 될 때, $\mathscr{S}$ 를 $\mathscr{T}$ 의 부분기저Subbasis라 한다.

설명

부분기저를 받아들이기 어려운 이유는 보통 수학에서 ‘부분’을 붙일 때는 부분집합이면서 원래의 성질을 유지하기 때문이다. 예를 들어 부분군이라면 부분집합이 의 조건을 만족할 때, 부분공간이라면 부분집합이 공간의 조건을 만족하는 식이다. 이런 의미에서 부분기저는 개념보다 그 용어가 헷갈려서 더 어렵다고 할 수 있겠다.

일단 정의 상 $\mathscr{S}$ 가 부분기저가 되었다면 기저 $\mathscr{B}$ 에 대해 부분집합, 즉 $\mathscr{S} \subset \mathscr{B}$ 는 자명하다. 그러나 $\mathscr{S}$ 는 모든 유한교집합의 집합으로써 $\mathscr{B}$ 를 구성해야 기저가 되므로, 기저로써는 아직 미숙하다고 표현할 수도 있겠다.

오히려 이제까지의 수학을 생각해보면 부분기저는 기저의 기저가 된다고 하는 편이 더 자연스러운 것이다. 문제는 ‘부분’이라는 걸 납득했더라도 여전히 부분기저의 정의 자체가 복잡하고 기괴하다는 것이다. 이러한 면에 대해서는 그냥 나중에 위상공간들의 곱을 위해 배워야하는 것이라고 받아들이는 게 마음 편하다. 그에 대한 공부를 어느정도 하고나면 왜 하필 유한교집합을 생각하는지도 알 수 있게 될 것이다.

이제 예제를 보며 조금이나마 개념을 잡아보자.

예제

$\mathscr{S} = \left\{ (- \infty , b ), ( a , \infty ) \ | \ a,b \in \mathbb{R} \right\}$ 는 거리공간 $\mathbb{R}$ 의 부분기저임을 보여라.

풀이

두 개구간 $( - \infty , b )$ 와 $( a , \infty )$ 의 교집합으로써 모든 개구간 $(a,b)$ 의 집합을 이룰 수 있으므로 $\mathscr{S}$ 는 부분기저가 된다.


  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p82. ↩︎

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