비선형 1계 미분방정식의 경계의 직선화

비선형 1계 미분방정식의 경계의 직선화


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비선형 1계 미분 방정식특성 방정식을 쉽게 풀기 위한 방법 중 하나는 정의역 $\Omega$의 경계인 $\partial \Omega$의 어떤 작은 부분인 $\Gamma$를 곧게 펴주는 것이다. 이는 항상 가능한 일이므로 경계 위의 점 $x^0$의 근방에서는 경계가 곧은 직선이라고 처음부터 가정하고 문제를 접근할 수 있다. 이를 경계의 직선화straightening the boundary라고 한다.

1.JPG

$\Omega \subset \mathbb{R}^n$은 열린 집합이고 $\partial \Omega$가 $C^2$라고 하자. 그리고 편미분방정식 $F \in C^1(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \times \bar \Omega)$가 주어졌다고 하자. 그리고 다음과 같은 경계조건이 주어졌다고 하자.

$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} F(Du,\ u,\ x)&=0 && \text{in } \Omega \\ u&=g && \text{on } \Gamma \end{aligned}
\right. \label{eq1} \end{equation} $$

$\Gamma \subset \partial \Omega$이고 $g : \Gamma \to \mathbb{R}$이다.

설명

경계위의 고정된 점 $x^0 \in \partial \Omega$가 있다. 그리고 변환 $\Phi\ :\ \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$를 다음과 같이 정의한다.

$$ \left\{ \begin{array} {l} \Phi(\Omega) := V \\ \Phi(x):=\left( \Phi^1(x),\ \cdots, \Phi^n(x) \right) = (y_{1},\ \cdots,\ y_n)=y, \quad y \in V \\ y_i=\Phi^i(x) := x_i, \quad x \in \mathbb{R}^n\ (i=1,\cdots, n-1) \\ y_n=\Phi^n(x) := x_n-\gamma(x_{1},\cdots,x_{n-1}), \quad x \in \mathbb{R}^n \end{array} \right. $$

즉 경계의 어떤 부분의 $n$번째 좌표를 $0$으로 만들어주는 변환이다. 이는 정의에 의해서 전단사임이 자명하다. 따라서 역변환이 존재하고 이를 $\Psi$로 정의한다.

$$ \left\{ \begin{array} {l} \Psi(y) := \Phi^{-1}(y) \\ \Psi^i(y) = x_i=y_i, \quad y \in \mathbb{R}^n\ (i=1,\cdots, n-1) \\ \Psi^n(y) = x_n=y_n+\gamma(x_{1},\cdots,x_{n-1}), \quad x \in \mathbb{R}^n \end{array} \right. $$

이를 그림으로 나타내면 아래와 같다.

2.JPG

이제 $\Gamma \subset \partial \Omega$가 열린 집합이고 $g\in C(\Gamma)$라고 하자. 그리고 고정된 점 $x^0 \in \Gamma$가 주어졌다고 하자. 그리고 $u \in C^1 (\Omega)\cap C(\bar \Omega)$가 경계조건 $(1)$을 푸는 해라고 가정하자. 그리고 $v$를 아래와 같이 정의하자.

$$ v(y) := u(\Psi(y)) \quad \forall\ y\in V $$

다시 말해 $V$에서 $u$와 같은 함숫값을 가지는 $v$를 정의한 것이다. 그러면 다음이 성립한다.

$$ u(x)=v(\Phi(x)) \quad \forall\ x\in \Omega $$

이제 $Du, u, x$가 $V$에서 어떻게 되는지 알아보자. 우선 $u_{x_i}$부터 계산해보면 다음과 같다.

$$ u_{x_i}(x)=\sum \limits _{k=1}^n v_{y_k} \left( \Phi(x) \right) \Phi^k_{x_i}(x) $$

따라서

$$ \begin{align*} Du(x) &= \left( \sum \limits _{k=1}^n v_{y_k} \left( \Phi(x) \right) \Phi^k_{x_{1}}(x),\ \cdots,\ \sum \limits _{k=1}^n v_{y_k} \left( \Phi(x) \right) \Phi^k_{x_n}(x) \right) \\ &= (v_{y_{1}}\Phi^1_{x_{1}}+\cdots+v_{y_n}\Phi^n_{x_{1}},\ \cdots ,\ v_{y_{1}}\Phi^1_{x_n}+\cdots+v_{y_n}\Phi^n_{x_n} ) \\ &= \begin{pmatrix} v_{y_{1}} & v_{y_{2}} & \cdots & v_{y_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Phi^1_{x_{1}} & \Phi^1_{x_{2}} & \cdots &\Phi^1_{x_n} \\ \Phi^2_{x_{1}} & \Phi^2_{x_{2}} & \cdots & \Phi^2_{x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \Phi^n_{x_{1}} & \Phi^n_{x_{2}} & \cdots & \Phi^n_{x_n} \end{pmatrix} \\ &= Dv\left( \Phi(x) \right) D\Phi(x) \end{align*} $$

혹은

$$ Du(\Psi(y)) = Dv(y) D\Phi(\Psi(y)) $$

그러면 $\eqref{eq1}$의 식은 다음과 같다.

$$ F\Big( Du(\Psi (y) ), u( \Psi (y) ), \Psi(y) \Big) = F\Big( Dv(y)D\Phi(\Psi(y)), v(y), \Psi(y) \Big)=0 $$

이제 다음과 같이 비선형 1계 편미분 방정식을 정의하자.

$$ G(q, w, y):=F \Big (q D\Phi(\Psi (y) ), w, \Psi(y) \Big), \quad \forall (q, w, y)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}\times\bar V $$

그러면 $G\in C^1(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \times \bar V)$이고 위의 결과들로부터 아래의 식이 성립한다.

$$ G \Big( Dv(y),\ v(y),\ y \Big)=0, \quad \forall y\in V $$

그리고 $\Delta:=\Phi(\Gamma)$이고 $h(y):=g(\Phi(y)) \quad y \in \Delta$라고 정의하자. 그러면 $\Delta$는 열린 집합이고 $\Delta \subset \partial V$이다. 그리고 $\Delta$는 $y^0$ 근방에서 평평하다. 요약하자면, 위에서 정의한 $v \in C^1(V) \cap C(\bar V)$는 아래의 경계조건을 만족하는 해가 된다.

$$ \left\{ \begin{align*} G(Dv,\ v,\ y) &=0 && \text{in } V \\ v&=h && \text{on } \Delta \subset \partial V \end{align*} \right. $$

이는 $\eqref{eq1}$과 경계의 어떤 임의로 선택한 부분이 평평하다는 것 밖에 다르지 않고 그 외에는 전부 같다. 그리고 항상 이렇게 경계를 평평하게 펴줄 수 있으므로 처음부터 주어진 문제가 이렇다고 가정하고 풀 수 있다.

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