수리통계학에서의 통계량과 추정량

수리통계학에서의 통계량과 추정량

Statistiic and Estimator

정의 12

  1. 확률 변수 $X$ 의 샘플 $X_{1} , \cdots , X_{n}$ 의 함수 $T$ 를 통계량statistiic이라 한다. $$ T := T \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) $$
  2. $X$ 의 분포 함수가 $f(x; \theta)$ 혹은 $p(x; \theta)$ 와 같이 나타날 때, $T$ 가 $\theta$ 를 파악하기 위한 통계량이면 $T$ 를 $\theta$ 의 추정량Estimator이라고 한다.
  3. 통계량의 확률분포샘플링 분포Sampling Distribution라 한다.

설명

추정량(Estimator)의 실현(Realization)을 추정치Estimate라고 한다. 모수는 보통 스칼라 $\theta \in \mathbb{R}$ 인 경우가 많으며, 이럴 때는 $T$ 를 $\theta$ 의 점추정량Point Estimator라도 부른다. 예로써 정규분포 $N \left( \mu, \sigma^{2} \right)$ 를 따르는 랜덤 샘플이 있다고 할 때, 모평균 $\mu$ 의 추정량은 다음과 같다. $$ \overline{X} := {{ 1 } \over { n }} \sum_{k = 1}^{n} X_{k} $$ 실제 데이터 $x_{1} , \cdots , x_{n}$ 이 있다면 $\mu$ 의 추정치는 다음과 같다. $$ \overline{x} := {{ 1 } \over { n }} \sum_{k = 1}^{n} x_{k} $$

같이보기

기초통계학에서의 통계량

기초통계학에서는 샘플의 함수라고는 하지 않고 조금 더 직관적으로 ‘계산된 것’이라는 표현을 사용해서 정의했다. 본질적으로 같은 의미겠지만 신입생 내지 수학에 익숙하지 않은 사람에게 더 좋은 정의일 수 있다.

추정량의 예

추정량에는 다음과 같은 예가 있다:


  1. Hogg et al. (2013). Introduction to Mathematical Statistcs(7th Edition): p208. ↩︎

  2. Casella. (2001). statistiical Inference(2nd Edition): p211. ↩︎

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