푸아송분포의 극한분포로써 표준정규분포 유도

푸아송분포의 극한분포로써 표준정규분포 유도

Standard normal distribution as limiting distribution of poisson Distribution

정리

$X_{n} \sim \text{Poi} \left( n \right)$ 이고 $\displaystyle Y_{n} := {{ X_{n} - n } \over { \sqrt{n} }}$ 이면 $$ Y_{n} \overset{D}{\to} N(0,1) $$


  • $N \left( \mu , \sigma^{2} \right)$ 는 평균이 $\mu$ 고 분산이 $\sigma^{2}$ 인 정규 분포다.
  • $\text{Poi} (\lambda)$ 는 평균과 분산이 $\lambda$ 인 푸아송 분포다.

설명

이항분포의 푸아송분포 근사를 생각해보면 당연하겠지만, 푸아송분포에서 역시 표준정규분포를 유도될 수 있다.

유도1

$Y_{n}$ 의 적률생성함수 $M_{Y_{n}} (t)$ 를 통해 분포수렴함을 보인다.

푸아송 분포의 적률생성함수: $$ m(t) = \exp \left[ \lambda \left( e^{t} - 1 \right) \right] \qquad , t \in \mathbb{R} $$

$X_{n} \sim \text{Poi} (n)$ 이므로 $$ \begin{align*} M_Y (t) =& E \left[ \text{exp} \left( Y_{n} t \right) \right] \\ =& E \left[ \text{exp} \left( {{ X_{n} - n } \over { \sqrt{n} }} t \right) \right] \\ =& E \left[ \text{exp} \left( {{ X_{n} } \over { \sqrt{n} }} t \right) \text{exp} ( -t \sqrt{n} ) \right] \\ =& \text{exp} ( -t \sqrt{n} ) E \left[ \text{exp} \left( X_{n} {{ t } \over { \sqrt{n} }} \right) \right] \\ =& \text{exp} ( -t \sqrt{n} ) \exp \left( n \left( e^{t/\sqrt{n}} - 1 \right) \right) \end{align*} $$ 두번째 인수의 테일러 전개를 통해 $$ \begin{align*} & \text{exp} \left( -t \sqrt{n} + n \left( 1 + {{t} \over {\sqrt{n}}} + {{1} \over {2!}} {{t^2} \over {n}} + {{1} \over {3!}} {{t^3} \over {n \sqrt{n} }} + \cdots - 1 \right) \right) \\ =& \text{exp} \left( -t \sqrt{n} + n \left( {{t} \over {\sqrt{n}}} + {{1} \over {2!}} {{t^2} \over {n}} + {{1} \over {3!}} {{t^3} \over {n \sqrt{n} }} + \cdots \right) \right) \\ =& \text{exp} \left( -t \sqrt{n} + t \sqrt{n} + {{t^2} \over {2!}} + {{1} \over {3!}} {{t^3} \over { \sqrt{n} }} + \cdots \right) \\ =& \text{exp} \left( {{t^2} \over {2!}} + {{1} \over {3!}} {{t^3} \over { \sqrt{n} }} + \cdots \right) \end{align*} $$ 따라서 $$ \lim_{n \to \infty} M_{Y_{n}} = e^{ t^2 \over 2 } $$


  1. http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/PoissonNormal.pdf ↩︎

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