📂동역학

불변 매니폴드의 안정성

Stability of manifold

정의

벡터 필드의 매니폴드¹

공간 $\mathbb{R}^{n}$ 와 함수 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 에 대해 다음과 같은 벡터 필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ \dot{x} = f(x) $$ 위와 같은 자율 시스템의 고정점 $\overline{x}$ 이 주어져 있다고 할 때, 선형화 행렬 $A := D f \left( \overline{x} \right)$ 의 각 고유값 $\lambda$ 들에 대응되는 고유벡터 $e$ 들을 실수부 $\text{Re} (\lambda)$ 에 따라 다음과 분류하고, 그 생성 $\text{span}$ 을 다음과 같이 나타내자. $$ E^{s} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = A e , \text{Re} (\lambda) < 0 \right\} \\ E^{u} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = A e , \text{Re} (\lambda) > 0 \right\} \\ E^{c} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = A e , \text{Re} (\lambda) = 0 \right\} $$ $E^{s}$ 를 안정 매니폴드 , $E^{u}$ 를 불안정 매니폴드 , $E^{c}$ 를 센터 매니폴드라 한다.

맵의 매니폴드²

공간 $\mathbb{R}^{n}$ 와 함수 $g : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 에 대해 다음과 같은 벡터 필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ x \mapsto g(x) $$ 위와 같은 시스템의 고정점 $\overline{x}$ 이 주어져 있다고 할 때, 선형화 행렬 $B := D g \left( \overline{x} \right)$ 의 각 고유값 $\lambda$ 들에 대응되는 고유벡터 $e$ 들을 절대값 $\left| \lambda \right|$ 에 따라 다음과 분류하고, 그 생성 $\text{span}$ 을 다음과 같이 나타내자. $$ E^{s} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = B e , \left| \lambda \right| < 1 \right\} \\ E^{u} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = B e , \left| \lambda \right| > 1 \right\} \\ E^{c} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = B e , \left| \lambda \right| = 1 \right\} $$ $E^{s}$ 를 안정 매니폴드 , $E^{u}$ 를 불안정 매니폴드 , $E^{c}$ 를 센터 매니폴드라 한다.

설명

$E$ 의 첨자인 $s,u,c$ 는 각각 스테이블^Stable, 언스테이블^Unstable, 센터^Center 의 앞글자를 따온 것이고, 다음이 성립한다. $$\mathbb{R}^{n} = E^{s} \oplus E^{u} \oplus E^{c} $$

$1$ 차원에서야 가까워지고 멀어지고, $2$ 차원에서야 어느 방향에서 들어오고 어느 방향으로 나가고를 상상할 수 있지만 일반적인 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{n}$ 을 고려할 때 ‘방향’이라는 개념은 무의미하다. 따라서 그냥 들어가거나 나가거나로 단순화하며, 매니폴드라는 단어를 사용한다.

한편 교재에 따라서는 다음과 같이 간략한 정의³를 사용하기도 한다. $\overline{x}$ 가 맵 $g$ 의 피리어딕 포인트라고 할때, 다음과 같이 정의된 $\mathcal{S}(\overline{x})$ 를 $\overline{x}$ 의 안정 매니폴드, $\mathcal{U}(\overline{x})$ 를 $\overline{x}$ 의 불안정 매니폴드라고 하는 식이다. $$ \mathcal{S} (\overline{x}) := \left\{ x \in \mathbb{R}^{n} : \lim_{k \to \infty} \left| f^{k} ( x ) - f^{k} ( \overline{x} ) \right| = 0 \right\} \\ \mathcal{U} (\overline{x}) := \left\{ x \in \mathbb{R}^{n} : \lim_{k \to \infty} \left| f^{-k} ( x ) - f^{-k} ( \overline{x} ) \right| = 0 \right\} $$