쌍곡함수의 배각 공식 반각 공식

쌍곡함수의 배각 공식 반각 공식

공식

$$ \begin{align} \sinh (2x) =&\ 2\sinh x \cosh x \label{1} \\ \cosh (2x) =&\ \cosh^{2} x + \sinh^{2} x = 2\cosh ^{2 } x -1 = 2\sinh ^{2} x +1 \\ \tanh (2x) =&\ \frac{2\tanh x}{1+\tanh^{2}x} \end{align} $$

$$ \begin{align} \sinh^{2} \frac{x}{2} =&\ \frac{\cosh x -1 }{2} \\ \cosh^{2} \frac{x}{2} =&\ \frac{\cosh x +1 }{2} \\ \tanh ^{2} \frac{x}{2} =&\ \frac{\cosh x -1}{\cosh x +1} \end{align} $$

$$ \begin{align} \sinh \frac{x}{2}=&\ \frac{\sinh x}{\sqrt{2(\cosh x +1)}} \\ \cosh \frac{x}{2}=&\ \frac{\sinh x}{\mathrm{sgn}(x)\sqrt{2(\cosh x -1)}} \end{align} $$

$\mathrm{sgn}(x)$는 부호 함수이다.

설명

삼각함수의 배각 공식, 반각 공식을 증명했던 것처럼 쌍곡함수의 덧셈 정리를 이용해서 증명한다. 증명 과정은 어렵지 않다. 증명 $(4)-(6)$은 배각 공식으로부터 바로 얻으므로 따로 증명하지 않겠다. 삼각함수의 반각 공식과 같이 이항하고 정리하면 곧바로 얻는다.

증명

증명 $(1)$

$$ \begin{align*} \sinh (2x)=&\ \sinh (x+x) \\ =&\ \sinh x \cosh x + \sinh x \cosh x \\ =&\ 2\sinh x \cosh x \end{align*} $$

증명 $(2)$

$$ \begin{align*} \cosh (2x)=&\ \cosh (x+x) \\ =&\ \cosh x \cosh x + \sinh x \sinh x \\ =&\ \cosh ^{2} x + \sinh ^{2} x \end{align*} $$

또한 $\cosh^{2} x-\sinh^{2} x=1$이므로

$$ \cosh^{2} x +\sinh^{2} x = 2\cosh^{2}x -1 = 2\sinh x+1 $$

증명 $(3)$

$$ \begin{align*} \tanh (2x) =\tanh (x+x) =&\ \frac{\sinh(x+x)}{\cosh (x+x)} \\ =&\ \frac{2\sinh x \cosh x }{\cosh^{2} x + \sinh^{2} x} \\ =&\ \frac{2\frac{\sinh x}{\cosh x}}{1+\frac{\sinh^{2} x}{\cosh^{2} x}} \\ =&\ \frac{2\tanh x}{1+\tanh^{2}x} \end{align*} $$

증명 $(7)$

$$ \begin{align*} \sinh \frac{x}{2} =&\ \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \\ =&\ \frac{(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}})(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}} )}{2(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}} )} \\ =&\ \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\frac{1}{e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}} \\ =&\ \sinh x \frac{1}{\sqrt{(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}})^{2}}} \\ =&\ \frac{\sinh x}{\sqrt{e^{x}+e^{-x}+2}} \\ =&\ \frac{ \sinh x}{\sqrt{2 \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+2}} \\ =&\ \frac{\sinh x}{\sqrt{2(\cosh x +1)}} \end{align*} $$

증명 $(8)$

$$ \begin{align*} \cosh \frac{x}{2} =&\ \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \\ =&\ \frac{(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}})(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}} )}{2(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}} )} \\ =&\ \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\frac{1}{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}} \\ =&\ \sinh x \frac{1}{\mathrm{sgn}(x)\sqrt{(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}})^{2}}} \\ =&\ \frac{\sinh x}{\mathrm{sgn}(x)\sqrt{e^{x}+e^{-x}-2}} \\ =&\ \frac{ \sinh x}{\mathrm{sgn}(x)\sqrt{2 \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}-2}} \\ =&\ \frac{\sinh x}{\mathrm{sgn}(x)\sqrt{2(\cosh x -1)}} \end{align*} $$

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