최소분열체

최소분열체

Splitting field in Abstract Algebra

정의 1

$F \le E$ 라고 하자.

  1. $f(x) \in F [ x ]$ 가 $E [ x ]$ 의 일차항들로 인수분해되면 $f(x)$ 가 $E$ 에서 분열된다고 한다.
  2. $\left\{ f_{i} (x) \mid i \in I \right\} \subset F [ x ]$ 에 대해 모든 $f_{i} (x)$ 들의 영을 포함하고 $E$ 가 $\overline{F}$ 의 가장 작은 부분체가 될 때 $E$ 를 $F$ 상에서 $\left\{ f_{i} (x) \mid i \in I \right\}$ 의 최소분열체라 한다.

예시

말이 어려우므로 예시를 통해 개념적으로 이해해보자.

유리수체 $\mathbb{Q}$ 에 대해 $( x^4 - 5 x^2 + 6 ) \in \mathbb{Q} [ x ]$ 는 $\mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) [ x ]$ 에서 $$ (x + \sqrt{3} )(x + \sqrt{2} )(x - \sqrt{2} )(x - \sqrt{3} ) $$ 과 같이 일차항들로 인수분해 되므로 $( x^4 - 5 x^2 + 6 )$ 가 $\mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} )$ 에서 분열된다고 말할 수 있다.

이어서 $\left\{ x^2 -2 , x^2 -3 \right\}$ 의 을 모두 포함하면서 $\overline{ \mathbb{Q} }$ 의 가장 작은 부분체는 $\mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} )$ 이므로 이를 $\mathbb{Q}$ 상에서 $\left\{ x^2 -2 , x^2 -3 \right\}$ 의 최소분열체라고 한다. 이렇게 최소분열체를 만들어주는 다항함수의 집합이 딱히 유일하지는 않은데, 위에서 보았듯 $\left\{ x^4 - 5 x^2 + 6 \right\}$ 역시 $\mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} )$ 를 유도할 수 있다.

정의에선 부분집합이라는 표현을 정확하게 사용하지만, 편의상 $\left\{ f(x) \right\}$ 의 최소분열체라면 그냥 $f(x)$ 의 최소분열체라고도 한다.

정리

$f(x) \in F [ x ]$ 의 최소분열체는 모두 동형이다.

증명

Part 1.

$F$ 의 두 확대체 $F \le E$ 와 $F \le E’$ 와 $F$ 상에서의 기약원 $p(x) \in F [ x ]$ 을 생각해보자.

$\alpha \in E$ 와 $\beta \in E’$ 에 대해 $p ( \alpha ) = p ( \beta ) = 0$ 이라 하고, 대입함수 $\phi_{\alpha} : F [ x ] \to F(\alpha)$ 와 $\phi_{\beta} : F [ x ] \to F(\beta)$ 를 정의하자. 그러면 $$ p( \alpha ) = p( \beta ) = 0 $$ 이므로 $\phi_{\alpha}$ 와 $\phi_{\beta}$ 은 같은 핵 $\left< p(x) \right> \subset F [ x ]$ 을 갖는다.

준동형사상의 기본정리: $R$, $R’$ 에 대해 준동형사상 $\phi : R \to R’$ 이 존재하면 $R / \ker ( \phi ) \simeq \phi (R)$

준동형사상의 기본정리에 의해 두 동형사상 $\psi_{\alpha} : F / \left< p(x) \right> \to F ( \alpha )$ 과 $\psi_{\beta} : F / \left< p(x) \right> \to F (\beta )$ 가 존재하므로, 다음이 성립한다. $$ F ( \alpha ) \simeq F ( \beta ) $$


Part 2.

$f(x)$ 의 최소분열체를 $E, E’$ 라 두자.

$\deg f (x) = 1$ 이면 자명하게도 $E = F = E’$ 이므로 $\deg f (x) = n \ne 1$ 이라 두자.

  • $f(x)$ 를 나누는 인수 중 일차항이 있다면 $f(x)$ 의 모든 최소분열체는 최소한 그 일차항들의 을 포함해야한다.
  • $f(x)$ 가 일차항들만의 곱으로 나타난다면 $f(x)$ 의 모든 최소분열체는 정확히 같은 원소를 공유하므로 서로 같다.
  • $f(x)$ 의 인수 중 $\deg p(x) \ge 2$ 인 기약원 $p(x)$ 이 있다고 하면 Part 1에 의해 $f(x)$ 의 모든 최소분열체는 $p(x)$ 의 모든 영과 대응되는 원소를 가져야만하고, 수학적 귀납법에 $f(x)$ 의 최소분열체는 모두 동형이어야한다.


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p432. ↩︎

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