수치해석에서의 스플라인

수치해석에서의 스플라인


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20190412\_170511.png 인터폴레이션이란 정확한 함수를 복원하는 게 아니라 그와 유사하면서도 다루기 편한 함수를 구하는 것이 목적이다. 물론 익스플릭시트Explicit하고 계산이 쉬워지도록 구할 수 있다면야 제일 좋겠지만, 이 우주는 그렇게 만만한 곳이 아니다.문제에 따라서는 간단한 부분을 빨리 풀고 복잡한 부분을 정교하게 풀어야할 수도 있고, 연속성조차 보장되지 않을 수도 있다. 이렇듯 전 구간이 아니라 각 구간마다 다른 인터폴레이션을 찾는 것을 피스와이즈Piecewise 인터폴레이션이라 한다.물론 조각으로 나눴다고 무조건 좋은 건 아니고, 그 중에서도 쓸만한 인터폴레이션이 필요하다.

구간 $[a,b]$ 를 $a \le x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} < \cdots x_{N} \le b$ 와 같은 노드 포인트들로 쪼갰다고 하자. 다음의 성질을 가진 $s$ 를 $m$ 차 스플라인Spline이라 한다.

(P1)** 각각의 $[x_{i-1} , x_{i}]$ 에서 $\deg s < m$(P2) $0 \le r \le m-2$ 에 대해 $s^{(r)} (x)$ 이 $[a,b]$ 에서 연속

스플라인이란 미분가능성에 대해 좋은 성질을 가지는 폴리노미얼 인터폴레이션으로써, 실제로는 여기에 몇가지 조건을 더해서 사용하게 된다. 피스와이즈 인터폴레이션인만큼 주어진 데이터가 엉망진창일수록 일반적인 폴리노미얼 인터폴레이션보다 좋다.

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