횔더 연속 함수 공간

횔더 연속 함수 공간

spaces of hoelder continuous functions

정의1

연속함수 공간

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. 음이 아닌 정수 $m$에 대해서, $|\alpha| \le m$인 모든 멀티 인덱스 $\alpha$에 대해 $D^{\alpha}\phi$가 $\Omega$에서 연속인 $\phi$들의 집합을 연속 함수 공간space of continuous functions라고 한다.

$$ C^{m}\left( \Omega \right) := \left\{ \phi : D^{\alpha} \phi \text{ is continuous on } \Omega, \forall \left| \alpha \right| \lt m \right\} $$

특히 $C^0(\Omega):=C(\Omega)$, $C^{\infty}:=\cap_{m=0}^{\infty}C^m(\Omega)$로 정의한다. 또한 여기서 $D^{\alpha} \phi$는 $\phi$의 약 도함수(초함수적 도함수)를 의미하기도 한다.

유계 연속함수 공간

모든 $0 \le |\alpha| \le m$에 대해서, $D^\alpha \phi$가 $\Omega$ 위에서 유계인 $\phi \in C^m(\Omega)$들의 집합을 유계 연속함수 공간space of bounded, continuous functions이라 정의한다.

$$ C^{m}_{B}\left( \Omega \right) := \left\{ \phi \in C^{m}(\Omega) : D^{\alpha} \phi \text{ is bounded on } \Omega, \forall \left| \alpha \right| \lt m \right\} $$

그러면 정의에 의해 자연스럽게 $C^{m}_{B}\left( \Omega \right) \subset C^{m}\left( \Omega \right)$가 성립한다. 또한 $C^m_B(\Omega)$는 아래와 같은 이 주어진 바나흐 공간이다.

$$ \left\| \phi\ ;\ C^m_B( \Omega )\right\| := \max \limits_{0 \le \left| \alpha \right| \le m } \sup \limits_{x\ \in \Omega} | D^{\alpha}\phi(x) | $$

유계 균등연속함수 공간

모든 $0 \le |\alpha| \le m$에 대해 $D^\alpha \phi$가 $\Omega$ 위에서 유계이고 균등연속인 $\phi \in C^{m}(\Omega)$들의 집합을 유계 균등연속함수 공간space of bounded, uniformly continuous functions이라 한다.

$$ C^{m}\left( \overline{\Omega} \right) := \left\{ \phi \in C^{m}(\Omega) : D^{\alpha} \phi \text{ is bounded and uniformly continuous on } \Omega, \forall \left| \alpha \right| \lt m \right\} $$

그러면 $C^{m}\left( \overline{\Omega} \right)$는 $C^{m}_{B}\left( \Omega \right)$의 닫힌 부분공간이고, 다음과 같은 놈이 주어진 바나흐 공간이다.

$$ \left\| \phi\ ;\ C^m(\overline{\Omega} )\right\| := \max \limits_{0 \le |\alpha | m } \sup \limits_{x\ \in \Omega} | D^{\alpha}\phi(x) | $$

횔더 연속함수 공간

횔더 조건

$0 \le \lambda \le 1$이라고 하자. 모든 $\left| \alpha \right| \le m$, $D^{\alpha} \phi$에 대해서 아래의 식을 만족시키는 상수 $K$가 존재하면, $D^{\alpha} \phi$가 $\Omega$에서 횔더 조건Hoelder condition of exponent $\lambda$을 만족시킨다고 한다.

$$ \left| D^{\alpha} \phi(x) - D^{\alpha}\phi(y) \right| \le K |x-y|^\lambda,\quad \forall\ x,y \in \Omega $$


$C^{m}\left( \overline{\Omega} \right)$의 원소 중에서 횔더 조건을 만족시키는 $\phi$들의 집합을 횔더 연속함수 공간spaces of Hoelder continuous functions이라 한다.

$$ C^{m,\lambda}\left( \overline{\Omega} \right) := \left\{ \phi \in C^{m}\left( \overline{\Omega} \right) : D^{\alpha}\phi \text{ satisfies in } \Omega \text{ a Hoelder condition of exponent } \lambda, \forall \left| \alpha \right| \le m \right\} $$

그러면 $C^{m,\lambda}\left( \overline{\Omega} \right)$는 다음과 같은 놈이 주어진 바나흐 공간이 된다.

$$ \left\| \phi\ ;\ C^{m,\lambda} (\overline{\Omega} )\right\| := \left\| \phi\ ;\ C^{m} (\overline{\Omega} )\right\| + \max \limits_{0 \le |\alpha | m } \sup \limits_{\substack{x,y\ \in \Omega \\ x\ne y} } \dfrac{ | D^{\alpha}\phi(x) - D^{\alpha}\phi(y) |}{ |x-y| ^{\lambda}} $$

$0 \lt \nu \lt \lambda \le 1$에 대해서 아래의 관계가 성립한다.

$$ C^{m,\lambda}\left( \overline{\Omega} \right) \subsetneq C^{m,\nu}\left( \overline{\Omega} \right) \subsetneq C^{m}\left( \overline{\Omega} \right) $$

설명

립시츠 조건는 $\lambda = 1$일 때의 횔더 조건이라고 볼 수 있다.


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p10-11 ↩︎

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