베셀 함수의 여러 성질

베셀 함수의 여러 성질

some properties of the bessel function


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베셀 방정식 아래의 미분 방정식을 $\nu$차 베셀 방정식이라 한다. $$ \begin{align*} x^2 y^{\prime \prime} +xy^{\prime} +(x^2-\nu^2)y&=0 \\ x(xy^{\prime})’+(x^2- \nu ^2) y&=0 \\ y^{\prime \prime}+\frac{1}{x} y^{\prime} + \left( 1-\frac{\nu^{2}}{x^{2}} \right)y&=0 \end{align*} $$

제1 종 베셀 함수 베셀 방정식의 첫번째 해를 $J_{\nu}(x)$라 쓰고 제1 종 베셀 함수라 부른다. $$ J_{\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma(n+1) \Gamma(n+\nu+1)} \left(\frac{x}{2} \right)^{2n+\nu} $$

$$ J_{-\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\Gamma(n+1)\Gamma(n-\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2n-\nu} $$

제 2종 베셀 함수 베셀 방정식의 두번째 해를 $N_{\nu}(x)=Y_{\nu}(x)$라고 쓰고 제2 종 베셀 함수, 노이만 함수, 베버 함수라 부른다.정수가 아닌 $\nu$에 대해서 $$ N_{\nu}(x)=Y_{\nu}(x)=\frac{\cos (\nu \pi)J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin (\nu\pi)} $$ $\nu$가 정수일 경우 극한으로 정의한다. $\nu\in \mathbb{Z}$, $a \in \mathbb{R}\setminus\left\{\mathbb{Z}\right\}$에 대해서 $$ N_{\nu}(x)=\lim \limits_{a \rightarrow \nu}N_{a}(x) $$

제3 종 베셀 함수 제1 종 베셀 함수와 제2 종 베셀함수의 아래와 같은 선형 결합을 제3 종 베셀함수 또는 한켈 함수라 부른다. $$ H_{p}^{(1)}(x)=J_{p}(x)+iN_{p}(x) \\ H_{p}^{(2)}(x)=J_{p}(x)-iN_{p}(x) $$

정수 $\nu$에 대해서 아래의 식이 성립한다. $$ J_{-\nu}(x)=(-1)^{\nu}J_{\nu}(x) $$

베셀 함수의 재귀 관계 $$ \begin{align*} & \frac{ d }{ dx }[x^{\nu} J_{\nu}(x)] =x^{\nu}J_{\nu-1}(x) \\ & \frac{ d }{ dx }[x^{-\nu}J_{\nu}(x)]=-x^{-\nu}J_{\nu+1}(x) \\ & J_{\nu-1}(x)+J_{\nu+1}(x)=\frac{2\nu}{x}J_{\nu}(x) \\ & J_{\nu-1}(x)-J_{\nu+1}(x)=2J’_{\nu}(x) \\ & J_{\nu}’(x)=-\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)+J_{\nu-1}(x)=\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)-J_{\nu+1}(x) \end{align*} $$

베셀 함수가 해인 미분 방정식 1 아래의 미분 방정식이 주어졌다고 하자. $$ \begin{align*} y^{\prime \prime}+\frac{1-2a}{x}y^{\prime}+\left[ (bcx^{c-1})^{2}+\frac{a^{2}-\nu^{2}c^{2}}{x^{2}} \right]y &=0 \\ x^{2}y^{\prime \prime}+(1-2a)xy^{\prime}+\left[ b^{2}c^{2}x^{2c}+(a^{2}-\nu^{2}c^{2}) \right]y &=0 \end{align*} $$ 그리고 $Z_{\nu}(x)$를 $J_{\nu}(x)$와 $N_{\nu}(x)$의 임의의 선형결합이라고 하자. 그러면 주어진 미분 방정식의 해는 아래와 같다. $$ y=x^{a}Z_{\nu}(bx^{c})=x^{a}[AJ_{\nu}(bx^{c})+BN_{\nu}(bx^{c})] $$ $\nu$, $a$, $b$, $c$, $A$, $B$는 상수이다.

베셀 함수가 해인 미분 방정식 2 미분 방정식 $$ x^{2}y^{\prime \prime} + xy^{\prime}+(K^{2}x^{2}-\nu^{2})y=0 $$ 의 일반해는 $$ y=AJ_{\nu}(Kx)+BN_{\nu}(Kx) $$ 이다.

베셀 함수의 직교성 $\alpha, \beta$를 제1 종 베셀 함수 $J_{\nu}(x)$의 근이라고 하자. 그러면 구간 $[0,1]$에서 $\sqrt{x}J_{\nu}(x)$는 직교 집합을 이룬다. $$ \int_{0}^{1} x J_{\nu}(\alpha x) J_{\nu}(\beta x)dx=\begin{cases} =0 &\alpha\ne \beta \\ \frac{1}{2}J^{2}_{\nu+1}(\alpha)=\frac{1}{2}J_{\nu-1}^{2}(\alpha)=\frac{1}{2}J_{\nu}’^{2}(\alpha) &\alpha=\beta\end{cases} $$ 혹은 ‘베셀 함수 $J_{\nu}(x)$는 구간 $[0,1]$에서 가중 함수$(\mathrm{weight\ function})$ $x$에 대해서 직교 집합을 이룬다’고 표현한다.

변형 베셀 방정식변형 베셀 함수 아래의 미분 방정식을 변형 베셀 방정식 이라 한다. $$ x^2 y^{\prime \prime} + xy^{\prime}-(x^2-\nu^2)y=0 $$ 변형 베셀 방정식의 해는 아래와 같고 변형 베셀 함수 또는 쌍곡 베셀 함수 라 부른다. $$ \begin{align} I_{\nu}(x)&=i^{-\nu}J_{\nu}(ix) \\ K_{\nu}(x) &= \frac{\pi}{2}i^{\nu+1}\left[ J_{\nu}(ix)+iN_{\nu}(ix) \right] \\ &= \frac{\pi}{2}i^{\nu+1}H_{p}^{(1)}(ix) \\ &=\frac{\pi}{2}\frac{I_{-\nu}(x)-I_{\nu}(x)}{\sin (\nu\pi )} \end{align} $$

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