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연관 르장드르 다항식의 여러 성질

some properties of the associated legendre polynomial

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연관 르장드르 미분 방정식과 연관 드장드르 다항식 아래의 미분 방정식을 르장드르 미분 방정식이라고 한다. 각각의 $l$, $m$에 따른 방정식의 해를 $P_{l}^{m}(x)$라고 표기하고연관 르장드르 다항식이라 부른다. $$ \begin{align*} &&(1-x^{2})\frac{ d^{2}y }{ dx^{2} }-2x \frac{dy}{dx}+\left[ +l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}} \right]y=0 \\ \mathrm{or} && \frac{ d }{ dx } \left[ (1-x^{2})y^{\prime} \right] +\left[ l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}} \right]y=0 \end{align*} $$

$$ \begin{align*} P_{l}^{m}(x)&= (1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} } P_{l}(x) \\ &=(1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} }\left[ \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l\right] \end{align*} $$ $P_{l}(x)$는 르장드르 다항식이다 .$m=0$인 경우 연관 르장드르 방정식은 르장드르 방정식이 되고, 연관 르장드르 다항식은 르장드르 다항식이 된다. 즉 $P_{l}^{0}(x)=P_{l}(x)$이다. 다시 말하자면 르장드르 미분 방정식과 그 해는 연관 르장드르 미분 방정식의 특별한 경우에 해당된다.

삼각함수 꼴로 나타낸 연관 르장드르 미분 방정식 $$ \begin{align*} \frac{ d^{2} y}{ d \theta^{2} }+\cot \theta \frac{ d y}{ d \theta}+ \left( l(l+1) -\frac{m^{2}}{\sin ^{2 }\theta} \right)y=0 \\ \mathrm{or} \quad\frac{1}{\sin \theta}\left(\sin \theta \frac{dy}{d\theta} \right)+ \left(l(l+1) -\frac{ m^{2}}{\sin ^{2} \theta} \right)y=0 \end{align*} $$

$m$의 부호에 따른 연관 르장드르 다항식 연관 르장드르 다항식은 $m$의 부호에 따라 아래의 비례식이 성립한다. $$ P_{l}^{-m}(x)=(-1)^{m}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_{l}^{m}(x) $$

연관 르장드르 다항식의 직교성 구간 $[-1,1]$에서 고정된 $m$에 대한 연관 르장드르 다항식은 직교 집합을 이룬다. $$ \int_{-1}^{1} P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)dx =\frac{ 2}{ 2l+1 }\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{lk} $$ $x=\cos \theta$일 경우에는 $$ \int_{0}^{\pi} P_{l}^{m}(\cos \theta)P_ {k}^{m}(\cos\theta)\sin \theta d\theta =\frac{ 2}{ 2l+1 }\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{lk} $$

연관 르장드르 다항식의 규격화 규격화된 연관 르장드르 다항식은 아래와 같다. $$ P_{l}^{m}(x)=\sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(x) $$