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르장드르 다항식의 여러 성질

some properties of legendre polynomial

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르장드르 미분 방정식과 르장드르 다항식아래의 미분 방정식을 르장드르 미분 방정식이라 하고 이 방정식의 해를 르장드르 다항식이라 한다. $$ (1-x^2)\dfrac{d^2 y}{dx^2} -2x\dfrac{dy}{dx}+l(l+1) y=0 $$ 각 $l$에 따른 르장드르 다항식은 다음과 같다. $$ \begin{align*} P_0(x) &=1 \\ P_1(x) &=x \\ P_2(x) &=\dfrac{1}{2}(3x^2-1) \\ P_3(x)&=\dfrac{1}{2}(5x^3-3x) \\ P_4(x)&=\dfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3) \\ \vdots \end{align*} $$

로드리게스 공식각 $l$에 대한 르장드르 다항식을 얻는 공식이다. $$ P_l(x)=\dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l $$

르장드르 미분 방정식의 삼각함수 꼴 $$ \begin{align*} \frac{ d^{2} y}{ d \theta^{2} }+\cot \theta \frac{ d y}{ d \theta}+ \left( l(l+1) -\frac{m^{2}}{\sin ^{2 }\theta} \right)y=0 \\ \mathrm{or} \quad\frac{1}{\sin \theta}\left(\sin \theta \frac{dy}{d\theta} \right)+ \left(l(l+1) -\frac{ m^{2}}{\sin ^{2} \theta} \right)y=0 \end{align*} $$

르장드르 다항식의 직교성구간 $[-1,1]$에서 르장드르 다항식은 직교 집합을 이룬다. $$ \int_{-1}^{1} P_l(x)P_m(x) dx =\frac{2}{2l+1}\delta_{lm} $$ 또한 르장드르 다항식은 자기보다 차수가 낮은 다항식과 직교한다. $f(x)$를 $l$보다 차수가 낮은 임의의 다항식이라 하자. 그러면 $$ \int_{-1}^{1}P_{l}(x)f(x)dx=0 $$

르장드르 다항식의 재귀 관계 $$ (2l+1)P_{l}(x)=P^{\prime}_{l+1}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x) $$

$$ lP_l(x)=(2l-1)xP_{l-1}(x)-(l-1)P_{l-2}(x) $$

$$ xP^{\prime}_{l}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x)=lP_{l}(x) $$

$$ P^{\prime}_{l}(x)-xP^{\prime}_{l-1}(x)=lP_{l-1}(x) $$

$$ (1-x^{2})P^{\prime}_{l}(x)=lP_{l-1}(x)-lxP_{l}(x) $$

$$ (1-x^{2})P^{\prime}_{l-1}(x)-lxP_{l-1}(x)-lP_{l}(x) $$

르장드르 다항식의 생성함수아래의 함수 $\Phi (x,h)$를 르장드르 다항식의 생성함수라 한다. $$ \Phi (x,h)=\frac{1}{\sqrt{1-2xh+h^{2}}},\quad |h|<1 $$ 생성함수는 아래의 식을 만족한다. $$ \Phi(x,h)=P_{0}(x)+hP_{1}(x)+h^{2}P_{2}(x)+\cdots =\sum \limits_{l=0}^{\infty}h^{l}P_{l}(x) $$