감마함수와 팩토리얼이 포함된 여러가지 중요한 공식

감마함수와 팩토리얼이 포함된 여러가지 중요한 공식

some important formula including gamma function and factorial

공식

  • $(a)$

    $$ \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} $$

  • $(b)$ 오일러 반사 공식:

    $$ \Gamma(p)\Gamma(1-p)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi p)} $$

  • $(c)$

    $$ \Gamma(n+\frac{1}{2})=\frac{1\cdot 3\cdot \cdot5 \cdots (2n-1)}{2^{n}}\sqrt{\pi}=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi},\quad n\in \mathbb{N} $$

  • $(d)$ 이항계수

    $$ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\frac{\Gamma(n+1)}{k! \Gamma(n-k+1)} $$

  • $(e)$ 오일러-마스케로니상수:

    $$ \gamma=-\Gamma^{\prime} (1) $$

  • $(f)$ 베타 함수:

    $$ B(p,q)=\frac{\Gamma (p) \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} $$


증명

감마함수: $$ \Gamma(p)=\begin{cases} \displaystyle \int_0^\infty x^{p-1}e^{-x}dx & p>0 \\ \frac{1}{p}\Gamma(p+1)& p<0 \end{cases} $$

감마함수의 재귀 공식: $$ \Gamma(p+1)=p\Gamma(p) $$


증명 $(a)$

$(b)$에서 $p=\frac{1}{2}$로 두면 $(a)$를 얻을 수 있지만, 그냥 직접연역해보자. 감마함수의 정의에 의해

$$ \Gamma ({\textstyle \frac{1}{2}})=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}e^{-x}dx $$

위 식에서 $x=y^{2}$으로 치환하면 $dx=2ydy$이므로

$$ \Gamma ({\textstyle\frac{1}{2}})=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{y}e^{-y^{2}}2ydy=\int_{0}^{\infty}e^{-y^{2}}dy $$

우변은 가우스 적분이므로

$$ \textstyle \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} $$

증명 $(b)$

쉽지 않다. 바이어슈트라스의 무한곱과 싱크함수의 오일러 표현을 사용한다.

증명 $(c)$

감마함수의 회귀 관계와 $(a)$에 의해서

$$ \begin{align*} \textstyle \Gamma(1+\frac{1}{2}) =&\ \textstyle \frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\sqrt{\pi} \\[1em] \textstyle \Gamma(2+\frac{1}{2}) =&\ \textstyle \frac{3}{2}\Gamma(1+\frac{1}{2})=\frac{3\cdot 1}{2\cdot2}\sqrt{\pi} \\[1em] \textstyle \Gamma(3+\frac{1}{2}) =&\ \textstyle \frac{5}{2}\Gamma(2+\frac{1}{2})=\frac{5\cdot 3\cdot 1}{2\cdot2 \cdot 2}\sqrt{\pi} \\[1em] \textstyle \Gamma(4+\frac{1}{2}) =&\ \textstyle \frac{7}{2}\Gamma(3+\frac{1}{2})=\frac{7\cdot 5\cdot 3\cdot 1}{2\cdot 2\cdot2 \cdot 2}\sqrt{\pi} \\ \vdots \\ \textstyle \Gamma(n+\frac{1}{2}) =&\ \textstyle \frac{(2n-1)(2n-3)\cdots 3\cdot 1}{2^n}\sqrt{\pi} \end{align*} $$

이때

$$ \begin{align*} \frac{(2n-1)(2n-3)\cdots 3\cdot 1}{2^n} &=\frac{{\color{blue}2n}(2n-1){\color{blue}(2n-2)}(2n-3){\color{blue}(2n-4)}\cdots {\color{blue}4}\cdot 3\cdot {\color{blue}2}\cdot 1}{2^n {\color{blue}2n(2n-2)(2n-4)\cdots 4\cdot 2}} \\ &=\frac{(2n)!}{2^n 2^n n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1} \\ &=\frac{(2n)!}{4^n (n)!} \end{align*} $$

이므로

$$ \Gamma(n+{\textstyle\frac{1}{2}})=\frac{1\cdot 3\cdot \cdot5 \cdots (2n-1)}{2^{n}}\sqrt{\pi}=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi} $$

증명 $(d)$

$$ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{ n! }{ k!(n-k)! }=\frac{ \Gamma(n+1) }{ k! \Gamma(n-k+1)! } $$

$\Gamma (n+1)=n!$임을 이용하면 한 줄에 끝난다.

증명 $(f)$

이항계수의 일반화로써 보일 수 있다.

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