균일 진행파 편미분방정식의 풀이

균일 진행파 편미분방정식의 풀이

정의

다음의 식을 만족하는 $u$를 균일 진행파uniform traveling wave라고 한다.

$$ \displaystyle \begin{cases} u_{t} + c u_{x} + a u = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases} $$

여기서 $t$는 시간, $x$는 위치, $u(t,x)$는 시간 $t$일 때 $x$에서의 파형을 나타낸다. $f$는 초기 조건으로써 특히 $t=0$일 때의 파형을 나타낸다. 상수 $c$ 는 파동의 진행 속도를 나타내며, 상수 $a$ 의 부호에 따라 진폭이 변한다.

설명

20180514\_081032.png

20180514\_081254.png

균일 진행파는 시간이 흐름에 따라 일정한 속도로 이동하는 파동이다. 만약 상수 $a$ 가 양수면 시간이 흐름에 따라 위와 같이 진폭이 작아진다.

$a, c = 0$ 이면 정상파 편미분방정식이 된다. 균일 진행파 편미분방정식의 해가 존재한다면 풀이는 다음과 같다.

풀이

예제

1

해의 공식 $u(t,x) = f(x - ct) e^{-at}$ 에 $c=-4$ 와 $a = 1$ 를 대입하면

$$ u(t,x) = (x + 4t)^2 e^{-t} $$

검산해보면

$$ u_{t} -4 u_{x} + u = \left[ 8(x + 4t) - (x + 4t)^2 \right] e^{-t} - 4 \cdot 2 (x + 4t) e^{-t} + (x + 4t)^2 e^{-t} = 0 $$

이고

$$ u(0,x) = (x + 0 )^2 e^{-0} = x^2 $$

이다.

2

우선은 $\displaystyle \begin{cases} w_{t} + 2 w_{x} = 0 & , t>0 \\ w(t,x) = e^{-x^2} & , t=0 \end{cases}$ 의 해부터 구해보자. 해의 공식 $w(t,x) = f(x - ct) e^{-at}$ 에 $c=2$ 와 $a = 0$ 를 대입하면

$$ w(t,x) = e^{-(x-2t)^2} $$

이제 어떤 함수 $f,g$ 에 대해 $u(t,x) = w(t,x) + f(t) + g(x)$ 이라고 하자. 임의의 상수 $k \in \mathbb{R}$ 에 대해 $f(t) = kt $ 그리고 $\displaystyle g(x) = {{1-k} \over {2}} x$ 라고 두면

$$ \displaystyle u_{t} + 2 u_{x} = [ w_{t} + f'(t) ] + 2 [ w_{x} + g'(x) ] = ( w_{t} + 2 w_{x} ) + ( k + 2 {{1-k} \over {2}} ) = 0 + 1 $$

따라서

$$ \displaystyle u(t,x) = e^{-(x-2t)^2} + kt + {{1-k} \over {2}} x $$

는 주어진 방정식의 해가 된다.

댓글