정상파 편미분방정식의 풀이

정상파 편미분방정식의 풀이

정의

다음의 조건을 만족하는 $u$를 정상파stationary wave라고 한다.

$$ \displaystyle \begin{cases} u_{t} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases} $$

설명

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정상파는 시간이 흘러도 모양이 변하지 않는 파동이다. 여기서 $t$는 시간, $x$는 위치, $u(t,x)$는 시간이 $t$일 때 $x$에서의 파형을 나타낸다. $f$는 초기 조건으로써 특히 $t=0$일 때의 파형을 나타낸다.

$$ f(x) = u(0, x) $$

정상파 편미분방정식의 해가 존재한다면 풀이는 다음과 같다.

풀이

양변에 $0$ 부터 $t$ 까지의 정적분을 취한다.

$$ \int_{0}^{t} {{\partial u} \over { \partial t }} ( s , x ) ds = \int_{0}^{t} 0 ds $$

$$ \displaystyle \implies u(t,x) - u(0,x) = 0 $$

$t$ 에 상관 없이 항상 $u(t,x) = u(0,x)$ 이 성립하므로 초기 조건에서 $u(t,x) = f(x)$이다.

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