계단 함수 퍼텐셜에 대한 슈뢰딩거 방정식의 풀이

계단 함수 퍼텐셜에 대한 슈뢰딩거 방정식의 풀이

개요

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퍼텐셜이 위 그림과 같이 계단 함수일 때 입자가 어떻게 운동하는지 알아보자. 퍼텐셜 $U$는

$$ U(x) = \begin{cases} 0 & x<0 \\ U_0 & x>0 \end{cases} $$

퍼텐셜이 $U(x)$일 때의 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은

$$ \dfrac{d^2 u(x)}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar ^2} \Big[ E-U(x) \Big]u(x)=0 $$

풀이1

$E<0$

에너지가 퍼텐셜보다 작으면 해가 존재하지 않으므로 고려할 필요 없다.

$0 < E < U_0$

$$ T=\left| \frac{ j_{trnas} }{j_{inc}}\right|=\frac{ 0}{\frac{\hbar k}{m}|A_{+}|^2}=0 $$ 위의 결과에 따라 반사만 일어나고 투과는 일어나지 않는다는 사실을 알 수 있다. 그런데 엄연히 $B_{-} \ne 0$이므로 $x>0$에서 입자를 발견활 확률이 존재한다. 즉, 거시적으로 보면 입사한 파동은 전부 반사됐다고 볼 수 있지만 미시적으로 보면 입사파의 일부가 고전적으로는 불가능한 영역으로 투과했다는 뜻이다. 이를 터널링tunneling 혹은 양자 터널 현상quanum tunnel effect이라 한다.

$ U_0 < E$


  1. Stephen Gasiorowicz, 양자물리학(Quantum Physics, 서강대학교 물리학과 공역) (3rd Edition, 2005), p79-83 ↩︎

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