장벽 퍼텐셜에 대한 슈뢰딩거 방정식의 풀이

장벽 퍼텐셜에 대한 슈뢰딩거 방정식의 풀이

개요

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퍼텐셜이 위 그림과 같이 벽 모양일 때 입자가 어떻게 운동하는지 알아보자. 퍼텐셜 $U$는

$$ U(x) = \begin{cases} 0 & x<-a \\ U_0 & -a < x <a \\ 0 &a<x \end{cases} $$

퍼텐셜이 $U(x)$일 때의 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은

$$ \dfrac{d^2 u(x)}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar ^2} \Big[ E-U(x) \Big]u(x)=0 $$

풀이1

$E<0$

에너지가 퍼텐셜보다 작으면 해가 존재하지 않으므로 고려할 필요 없다.

$0 < E < U_0$

Part 2-1. $x<-a$ 이 영역에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은

$$ \dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}Eu=0 $$

$\frac{2m}{\hbar^2}E$가 양수이므로 $k^2$으로 치환하면

$$ \dfrac{d^2 u}{dx^2}+k^2u=0 $$

방정식을 풀면 그 해는

$$ u_{1}(x)=A_{+}e^{ikx} + A_{-}e^{-ikx} $$

이때 $A_+$, $A_-$는 상수이다.

$U_0 < E$

그림을 살펴보면 Part 2-2. 부분을 제외한 나머지 결과는 2. $0 < E < U_0$ 와 같다는 것을 알 수 있다. 따라서 위에서 얻은 결과를 이용하면


  1. Stephen Gasiorowicz, 양자물리학(Quantum Physics, 서강대학교 물리학과 공역) (3rd Edition, 2005), p84-89 ↩︎

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