리카티 미분방정식의 풀이

리카티 미분방정식의 풀이

solution of ricatti differential equation

정의

아래의 1계 비선형 미분방정식을 리카티 방정식Ricatti equation이라 한다.

$$ y^\prime = P(x)y+Q(x)y^2+R(x) $$

설명

$y_{1}$을 이미 알고있는 특별해particular solution라고 하면 일반해는 $y=y_{1}+u(x)$ 꼴로 나타내진다. 이 때 $u(x)$는 임의의 상수이며 $n=2$일 때의 베르누이 미분방정식을 풀어서 얻을 수 있다.

풀이

리카티 방정식은 겉으로 봤을 때 너무 복잡해서 풀기 어렵다.따라서 간단한 트릭을 써서 우리가 풀기 쉬운 모양으로 바꿔서 풀어야 한다.

  • Step 1.

    $y_{1}$을 임의의 특별해라고 하자.이 특별해를 얻는 방법은 따로 있는 것이 아니며 직관과 눈썰미 혹은 여러번의 시도로 얻어야 한다. $y$에 $2$ 넣으면 될 것 같은데? $3x$ 넣으면 될 것 같은데? 하는 식으로 얻어야 한다. 그리고 일반해를 $y=y_{1}+u(x)$꼴이라고 가정하자. $u(x)$는 임의의 상수이다.

  • Step 2.

    주어진 미분방정식에 $y=y_{1}+u$를 대입하면

    $$ \begin{align*} && y_{1}^\prime + u^\prime = P(y_{1}+u) + Q(y_{1}+u)^2 +R \\ \implies && y_{1}^\prime + u^\prime = P(y_{1}+u) + Q(y_{1}^2 +2y_{1}u +u^2) +R \end{align*} $$

    우변을 정리하면

    $$ y_{1}^\prime + u^\prime = \left( Py_{1} + Qy_{1}^2 + R \right) +\left( P + 2Qy_{1} \right) u +Qu^2 $$

  • Step 3.

    이 때 $y_{1}$이 주어진 미분방정식의 해이므로 $y_{1}^\prime=Py_{1}+Qy_{1}^2+R$을 만족한다. 따라서 좌우변의 공통된 항을 소거하면 아래와 같다.

    $$ u^\prime = \left( P + 2Qy_{1} \right) u +Qu^2 $$

    이는 베르누이 미분방정식에서 $n=2$일 때와 같은 꼴이다. 따라서 베르누이 미분방정식의 풀이법으로 $u(x)$를 구할 수 있다. 그러고 나면 최종적으로 주어진 미분방정식의 일반해 $y=y_{1}+u(x)$를 얻게 된다.

예제

미분방정식 $y^\prime = 2- 2xy+y^2$를 풀어라.

$y$에 $2x$를 대입하면 성립하므로 $y_{1}=2x$라고 둘 수 있다. 그러면 일반해는

$$ y=y_{1}+u(x)=2x+u \\ y^\prime=2+u^\prime $$

주어진 미분방정식에 대입하면

$$ \begin{align*} && 2+u^\prime &= 2 – 2x(2x+u)+(2x+u)^2 \\ \implies && 2+u^\prime &= 2-4x^2-2xu+4x^2+4xu+u^2 \\ \implies && u^\prime &= 2xu+u^2 \\ \implies && u^\prime –2xu &= u^2 \end{align*} $$

즉, 베르누이 방정식에서 $n=2$인 꼴이다.

베르누이 방정식

$$ u^\prime + (1-n)pu=q(1-n) $$

양변을 $u^2$로 나누면

$$ u^{-2}u^\prime – 2xu^{-1}=1 $$

여기서 $w \equiv u^{1-n}=u^{-1}$라고 치환하고 베르누이 방정식을 풀면 $\dfrac{dw}{dx}=-u^{-2}\dfrac{du}{dx}$이므로

$$ \begin{align*} && -w^\prime –2xw &= 1 \\ \implies && w^\prime + 2xw &= -1 \\ \implies && w &= e^{-x^2} \left[ -\displaystyle \int e^{x^2}dx+C \right] \end{align*} $$

그런데 위에서 $w =u^{-1}$라고 치환했으므로

$$ u=\dfrac{e^{x^2}}{C- \displaystyle \int e^{x^2} dx} $$

따라서 최종적으로 일반해는 다음과 같다.

$$ y=y_{1}+u(x)=2x+\dfrac{e^{x^2}}{C- \displaystyle \int e^{x^2}dx} $$

댓글