비균일 진행파 편미분방정식의 풀이

비균일 진행파 편미분방정식의 풀이

정의

다음의 식을 만족하는 $u$를 비균일 진행파non-uiform traveling wave라고 한다.

$$ \displaystyle \begin{cases} u_{t} + c(x) u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases} $$

여기서 $t$는 시간, $x$는 위치, $u(t,x)$는 시간 $t$일 때 $x$에서의 파형을 나타낸다. $f$는 초기 조건으로써 특히 $t=0$일 때의 파형을 나타낸다. 함수 $c(x)$는 파동의 진행 속도를 나타낸다.

설명

20180514\_081500.png

비균일 진행파는 시간이 흐름에 따라 속도가 변하는 파동이다. 위 그림의 경우 갈수록 속도가 줄어들어서 한 점에서만 우뚝 서버리는 파형이 되어간다.

$c$ 가 상수면 균일 진행파 편미분방정식이 된다. 비균일 진행파 편미분방정식의 해가 존재한다면 풀이는 다음과 같다.

풀이

예제

$x = \pm 1$ 에서는 $c(x) = x^2 - 1 = 0$ 이므로 정상파 편미분방정식이 되어 $u(t,x) = u(0,x) = f(x) = e^{-x^2}$ 이다. $x \ne \pm 1$ 에서는 특성 곡선

$$ \displaystyle t = beta (x) = \int {{1} \over {x^2 - 1}} dx = {{1 } \over {2}} \log \left| {{x-1} \over {x+1}} \right| $$

을 찾는다. 그리고 $\displaystyle x= \beta^{-1} (t) = {{1 + e^{2t}} \over {1 - e^{2t}}}$ 이므로

$$ \displaystyle u(t,x) = f(\beta^{-1} ( \beta (x) - t ) ) = \exp \left[ - \left( {{ x + 1 + (x - 1) e^{-2t} } \over { x + 1 - (x - 1) e^{-2t} }} \right)^2 \right] $$

댓글