비점성 버거스 방정식의 풀이

비점성 버거스 방정식의 풀이

정의

다음의 준선형 편미분방정식버거스 방정식Burgers' equation이라 한다.

$$ \begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases} $$

여기서 $t$는 시간, $x$는 위치, $u(t,x)$는 시간 $t$일 때 $x$에서의 파형을 나타낸다. $f$는 초기 조건으로써 특히 $t=0$일 때의 파형을 나타낸다.

설명

버거스 방정식은 은$\displaystyle u_{t} + u u_{x} = \nu u_{xx}$ 에서 확산 계수 $\nu$ 가 $0$ 인 경우를 나타낸다.

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만약 $f'(x)>0$ 이면 $x$ 가 클수록 속도가 빠르다는 뜻이므로 특성 곡선은 위와 같이 희박파rarefaction를 이룬다. $(t,x)$ 에서의 기울기는 파동의 속도를 의미하는데, 희박파를 이룬다는 것은 속도가 점점 커지거나 작아지기만 한다는 뜻이다. 이 경우 특성 곡선끼리는 절대로 만나지 않는다.

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파형을 그려보면 위와 같이 빠른 점이 더 빠르게 가고 느린 점이 더 느리게 가므로 시간이 갈수록 점점 차이가 벌어진다.

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한편 위와 같이 $x$ 가 클수록 속도가 줄어드는 경우, 특성 곡선들은 위와 같이 교차하게 된다.

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이 경우 파형을 보면 뒤에 있던 점들이 앞에 있던 점들을 앞질러 버리는 일이 발생하게 된다. 위 그림에선 $t=1$ 일 때를 기점으로 $u$ 가 주어진 $x$ 에 대해 여러개의 값을 가지기 시작한다. 자연 현상에서의 예로는 파도가 생기는 상황을 상상해보면 도움이 될 것이다. 바닥쪽에서 앞서가고 있던 물은 모래나 자갈과 마찰하면서 느려지고 있지만 윗쪽은 힘을 받아서 진행되다 넘어간다. 이를 파열blow-up이라 하며 수학적으로는 함수가 아니게 되고 물리적으로는 동시에 여러 상태가 중첩된 것이다.

특성 곡선들이 희박파를 이루는 경우는 해석이 너무 쉽기 때문에 주로 관심을 받는 것은 이 경우 뿐이다.해를 구하는 것 자체는 어렵지 않으나 양함수 꼴로 깔끔하게 바꾸는 게 어렵고, 그렇게 할 수 없는 경우가 부지기수다. 버거스 방정식의 풀이에는 해 외에도 파열 시간blow-up time파열 위치blow-uP location를 구하는 것도 중요한 문제다. 비점성 버거스 방정식의 해가 존재한다면 풀이는 다음과 같다.

풀이

비점성 버거스 방정식의 해가 유한 시간 내에 파열한다면 그 시간과 위치는 다음과 같다

예제

1

$u$ 가 양함수의 꼴로 깔끔하게 나타나는 유형이다.

$u = \alpha ( x - tu ) + \beta$ 를 $u$ 에 대해 정리하면 $\displaystyle u(t,x) = {{\alpha x + \beta} \over {1 + \alpha t}}$ 이고 파열 시간은 $\displaystyle t_{\ast} = - {{1} \over {\alpha}} $

2

$u$ 를 양함수의 꼴로 나타내기 번거로운 유형이다.

$$ f'(x) = \left( {{1} \over {2}} \pi - \tan^{-1} x \right) = - {{1} \over {1 + x^2}} $$

이고 $x \in \mathbb{R}$ 에 대해 $f'(x) < 0$ 이다. 따라서

$$ t_{\ast} = \inf \left\{ \left. - {{1} \over {f'(x) }} \ \right| \ f'(x) < 0 \right\} = \inf \left\{ \left. (1+ x^2) \ \right| \ f'(x) < 0 \right\} = 1 $$

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