디리클레 경계 조건이 주어진 파동방정식에 대한 초기값 문제의 풀이

디리클레 경계 조건이 주어진 파동방정식에 대한 초기값 문제의 풀이

Solution of Initial value Problem for wave equation for given dirichlet boundary Condition

설명

$$ \begin{cases} u_{tt} = c^2 u_{xx} \\ u(0,x) = f(x) \\ u_{t}(0,x) = g(x) \\ \end{cases} $$

위 방정식은 파동 방정식에서 길이가 $l$ 인 $1$차원 공간 상의 디리클레 경계조건

$$ \begin{cases} u(t,0) = \alpha(t) \\ u(t,l) = \beta (t) \end{cases} $$

이 $\alpha = \beta = 0$ 으로 주어지고 파형에 대한 초기 조건이 있는 경우다. 이러한 문제 유형 중에는 가장 쉽고 단순한 형태다. 여기서 $t$는 시간, $x$는 위치, $u(t,x)$는 시간 $t$일 때 $x$에서의 파형을 나타낸다. $f$와 $g$는 초기 조건으로써 특히 $f$는 $t=0$일 때의 파형을 나타낸다.

경계 조건이 주어진 경우 달랑베르의 공식은 사용할 수 없게 되며, 열방정식을 풀 때와 비슷한 아이디어를 사용하게 된다.

풀이

  • Step 1.

    해가 $u(t,x) = w(t) v(X)$ 로 나타난다고 가정해보면 파동방정식을 풀어야하므로 $w’’(t) v(x) = c^2 w(t) v’’(x)$보기 좋게 정리하면

    $$ {{w’’(t)} \over {w(t) } } v(x) = c^2 {{v’’(x)} \over {v(x)}} = \lambda $$

    여기서

    $$ {{\partial } \over { \partial x }} \lambda = {{\partial } \over { \partial x }} \left( {{w’’(t)} \over {w(t) } } \right) = 0 $$

    이고

    $$ {{\partial } \over { \partial t }} \lambda = {{\partial } \over { \partial x }} \left( c^2 {{v’’(x)} \over {v(x) } } \right) = 0 $$

    이므로 $\lambda$ 는 상수다.

  • Step 2.

    $\lambda$ 가 상수임이 보장되었으므로, 2계미분방정식 $w’’ - \lambda w = 0$ 와 $\displaystyle v’’ - {{\lambda} \over {c^2}} v = 0$ 를 각자 풀면 된다. 해들은 열방정식을 풀 때와는 달리 $\lambda$ 앞의 부호가 다르므로 $\lambda <0$ 일 때 비자명해가 될 것이다.

    20180609\_223725.png

    $\displaystyle \omega := {{ n \pi c} \over {l}}$ 에 대해 해는 위의 형태로 나타난다. 특히 방정식을 푸는 기본해는 $\displaystyle u_{n}(t,x) = \cos {{n \pi c t} \over {l}} \sin {{ n \pi x} \over {l}}$ 과 $\displaystyle \tilde{u} _{n}(t,x) = \sin {{n \pi c t} \over {l}} \sin {{ n \pi x} \over {l}}$ 이다. 따라서 해는 어떤 $b_{n}, d_{n}$ 에 대해

    $$ u(t,x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left[ b_{n } \cos {{n \pi c t} \over {l}} \sin {{ n \pi x} \over {l}} + d_{n} \sin {{n \pi c t} \over {l}} \sin {{ n \pi x} \over {l}} \right] $$

    로 나타난다.

  • Step 3. 초기 조건에 대한 푸리에 전개

    $$ u(0,x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ b_{n } \sin {{ n \pi x} \over {l}} \right] = f(x) $$

    이므로

    $$ b_{n} = \left< f(x) , \sin {{n \pi x } \over {l}} \right> = {{2} \over {l}} \int_{0}^{l} f(x) \sin {{n \pi x} \over {l}} dx $$

    이고

    $$ u_{t}(0,x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ d_{n } {{n \pi c} \over {l}} \sin {{ n \pi x} \over {l}} \right] = g(x) $$

    이므로

    $$ d_{n} = {{l} \over {n \pi c}} \left< g(x) , \sin {{n \pi x } \over {l}} \right> = {{2} \over { n \pi c }} \int_{0}^{l} g(x) \sin {{n \pi x} \over {l}} dx $$

    이다. 따라서

    $$ u(t,x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {{2} \over {l}} \int_{0}^{l} f(x) \sin {{n \pi x} \over {l}} dx \cos {{n \pi c t} \over {l}} \sin {{ n \pi x} \over {l}} + {{2} \over { n \pi c }} \int_{0}^{l} g(x) \sin {{n \pi x} \over {l}} dx \sin {{n \pi c t} \over {l}} \sin {{ n \pi x} \over {l}} \right] $$

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