디리클레 경계 조건이 주어진 파동방정식에 대한 초기값 문제의 풀이

디리클레 경계 조건이 주어진 파동방정식에 대한 초기값 문제의 풀이

설명

$$ \begin{cases} u_{tt} = c^2 u_{xx} \\ u(0,x) = f(x) \\ u_{t}(0,x) = g(x) \\ \end{cases} $$

위 방정식은 파동 방정식에서 길이가 $l$ 인 $1$차원 공간 상의 디리클레 경계조건

$$ \begin{cases} u(t,0) = \alpha(t) \\ u(t,l) = \beta (t) \end{cases} $$

이 $\alpha = \beta = 0$ 으로 주어지고 파형에 대한 초기 조건이 있는 경우다. 이러한 문제 유형 중에는 가장 쉽고 단순한 형태다. 여기서 $t$는 시간, $x$는 위치, $u(t,x)$는 시간 $t$일 때 $x$에서의 파형을 나타낸다. $f$와 $g$는 초기 조건으로써 특히 $f$는 $t=0$일 때의 파형을 나타낸다.

경계 조건이 주어진 경우 달랑베르의 공식은 사용할 수 없게 되며, 열방정식을 풀 때와 비슷한 아이디어를 사용하게 된다.

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