디리클레 경계 조건이 주어진 열방정식에 대한 초기값 문제의 풀이

디리클레 경계 조건이 주어진 열방정식에 대한 초기값 문제의 풀이

설명

$$ \begin{cases} u_{t} = \gamma u_{xx} \\ u(t,0) = u(t,l) = 0 \\ u(0,x) = f(x) \end{cases} $$

위 방정식은 열방정식에서 길이가 $l$ 인 $1$차원 공간 상의 디리클레 경계조건

$$ \begin{cases} u(t,0) = \alpha(t) \\ u(t,l) = \beta (t) \end{cases} $$

이 $\alpha = \beta = 0$으로 주어지고 열분포에 대한 초기 조건이 있는 경우다. 이러한 문제 유형 중에는 가장 쉽고 단순한 형태다. 여기서 $t$는 시간, $x$는 위치, $u(t,x)$는 시간 $t$일 때 열의 분포를 나타낸다. $\gamma$는 열확산율로써 크면 클수록 분포의 변화가 빠르다. $f$는 초기 조건으로써 특히 $t=0$일 때 열의 분포를 나타낸다.

풀이

열방정식의 풀이에서 이어진다.



한편 물리적인 센스로 생각해 봤을 때 풀이과정에서 $\lambda$ 가 양수일 때만 의미를 갖는 것은 당연한 일이다. $\lambda$ 는 확산에 관한 계수기 때문에 이것이 양수가 아닐 수도 있다면 열역학 제2법칙에 위배되는 현상이 비일비재할 것이다.

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