디리클레 경계 조건이 주어진 열방정식에 대한 초기값 문제의 풀이

디리클레 경계 조건이 주어진 열방정식에 대한 초기값 문제의 풀이

Solution of Initial value Problem for heat equation for given dirichlet boundary Condition

설명

$$ \begin{cases} u_{t} = \gamma u_{xx} \\ u(t,0) = u(t,l) = 0 \\ u(0,x) = f(x) \end{cases} $$

위 방정식은 열방정식에서 길이가 $l$ 인 $1$차원 공간 상의 디리클레 경계조건

$$ \begin{cases} u(t,0) = \alpha(t) \\ u(t,l) = \beta (t) \end{cases} $$

이 $\alpha = \beta = 0$으로 주어지고 열분포에 대한 초기 조건이 있는 경우다. 이러한 문제 유형 중에는 가장 쉽고 단순한 형태다. 여기서 $t$는 시간, $x$는 위치, $u(t,x)$는 시간 $t$일 때 열의 분포를 나타낸다. $\gamma$는 열확산율로써 크면 클수록 분포의 변화가 빠르다. $f$는 초기 조건으로써 특히 $t=0$일 때 열의 분포를 나타낸다.

풀이

열방정식의 풀이에서 이어진다.


  • Step 4. $\lambda$ 가 고유값인지 체크

    해의 후보가 $u(t,x) = e^{-\lambda t} v(X)$ 인데 디리클레 경계 조건에 의해 $u(t,0) = u(t,l) = 0$ 이므로

    $$ e^{-\lambda t} v(0) = e^{-\lambda t} v(l) = 0 $$

    따라서 비자명해 $v$ 가 $v(0) = v(l) = 0$ 을 만족시키는지를 확인해야한다.

    • Case 1. $\lambda < 0$ 어떤 상수 $c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$ 에 대해

      $$ v(x) = c_{1} e^{ \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } + c_{2 } e^{ - \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } $$

      이므로

      $$ v(0) = 0 \implies c_{1} + c_{2} = 0 \\ v(l) = 0 \implies c_{1} e^{ \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } l } + c_{2 } e^{ - \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } l } = 0 $$

      이를 동시에 만족시키는 것은 $c_{1} = c_{2} = 0$ 뿐이다. $v(x) = 0$ 이므로 $v$ 가 자명해가 되어 $\lambda$ 는 고유값이 아니게 된다.

    • Case 2. $\lambda = 0$

      어떤 상수 $c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$ 에 대해 $\displaystyle v(x) = c_{1} + c_{2} x$ 이므로

      $$ v(0) = 0 \implies c_{1} = 0 \\ v(l) = 0 \implies c_{1} + c_{2 } l = 0 $$

      이를 동시에 만족시키는 것은 $c_{1} = c_{2} = 0$ 뿐이다. $v(x) = 0$ 이므로 $v$ 가 자명해가 되어 $\lambda$ 는 고유값이 아니게 된다.

    • Case 4. $\lambda \notin \mathbb{R}$

      $\lambda = r e^{i \theta}$ 로 나타내도록 하자. 어떤 상수 $c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$ 에 대해

      $$ v(x) = c_{1} \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i {{ \theta } \over {2}} } x \right) + c_{2 } \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i \left( {{ \theta } \over {2}} + \pi\right) } x \right) $$

      이므로 $v(0) = v(l) = 0$ 에서

      $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i {{\theta} \over {2}} } l \right) & \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i \left( {{\theta} \over {2}} + \pi \right) } l \right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

      여기서

      $$ \begin{align*} && \det \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i {{\theta} \over {2}} } l \right) & \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i \left( {{\theta} \over {2}} + \pi \right) } l \right) \end{bmatrix} \\ =& \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i \left( {{\theta} \over {2}} + \pi \right) } l \right) - \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i {{\theta} \over {2}} } l \right) \\ &\ne& 0 \end{align*} $$

      따라서 $c_{1} = c_{2} = 0$ 이고, $v(x) = 0$ 이므로 $v$ 가 자명해가 되어 $\lambda$ 는 고유값이 아니게 된다.

    그러면 Case 1. , Case 2. , Case 4. 에서 $u(t,x) = 0$ 이다.

    • Case 3. $\lambda > 0$

      어떤 상수 $c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$ 에 대해

      $$ v(x) = c_{1} e^{ i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } + c_{2 } e^{ - i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } $$

      이므로 $v(0) = v(l) = 0$ 에서

      $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \cos \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) & \sin \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

      여기서

      $$ \det \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \cos \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) & \sin \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) \end{bmatrix} = \sin \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) $$

      즉 $\displaystyle \sin \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) = 0$ 가 되도록 하는 $\displaystyle \lambda = \lambda_{n} : = \gamma \left( {{n \pi} \over {l}} \right)^2$ 들만이 고유값이 된다. Case 3. 에서는 Step 5. 로 넘어간다.

  • Step 5.

    $$ u_{n}(t,x) := \exp \left( - {{\gamma n^2 \pi^2 } \over {l^2}} t \right) \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) \\ b_{n} := {{1 } \over {l}} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) dx $$

    이라고 할 때 $\displaystyle u(t,x) := \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} u_{n} (t,X)$ 이 모든 $x \in [ 0 , l ]$ 에서 수렴한다고 가정하자. 이 해는 열방정식을 풀고 디리클레 경계 조건을 만족시킨다. 풀어쓰면

    $$ u(t,x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left< f(x) , \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) \right> \exp \left( - {{\gamma n^2 \pi^2 } \over {l^2}} t \right) \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) $$

    $t=0$ 일 때

    $$ u(0,x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left< f(x) , \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) \right> \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) \sim f(x) $$

    이므로, 수렴한다면 초기 조건 $f(x) = u(0,x)$ 도 만족한다.


한편 물리적인 센스로 생각해 봤을 때 풀이과정에서 $\lambda$ 가 양수일 때만 의미를 갖는 것은 당연한 일이다. $\lambda$ 는 확산에 관한 계수기 때문에 이것이 양수가 아닐 수도 있다면 열역학 제2법칙에 위배되는 현상이 비일비재할 것이다.

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