열방정식의 풀이

열방정식의 풀이

설명

$$ u_{t} = \gamma u_{xx} $$

위 식은 다음의 일반화된 열방정식

$$ {{\partial} \over {\partial t}} \left( \sigma (x) u \right) = {{\partial} \over {\partial x }} \left( \kappa (x) {{\partial u} \over {\partial x}} \right) $$

에서 열전도율thermal conductivity $\kappa (x) > 0$ 와 열용량heat capacity $\sigma(x) > 0$ 이 모두 상수인 경우로써 $\displaystyle \gamma : = {{\kappa} \over {\sigma}}$ 을 열확산율thermal diffusivity이라 한다.

여기서 $t$ 는 시간, $x$ 는 위치, $u(t,x)$ 는 시간 $t$ 일 때 열의 분포를 나타낸다. $\gamma$ 는 열확산율로써 크면 클수록 분포의 변화가 빠르다.

풀이

기본적인 아이디어는 2계 선형 동차 미분방정식의 풀이에서 가져왔다.


$\displaystyle z^2 = - {{\lambda} \over {\gamma}} = {{r } \over {\gamma}} e^{ i \theta}$ 이므로 기본해는

$$
z = \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i {{ \theta } \over {2}} }, \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i \left( {{ \theta } \over {2}}  + \pi\right) }
$$

따라서 해는 어떤 상수 $c\_{1} , c\_{2} \in \mathbb{C}$ 에 대해

$$
u(t,x) = \exp \left( r e^{i \theta} t \right) \left[ c\_{1} \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i {{ \theta } \over {2}} } x \right) + c\_{2 } \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i \left( {{ \theta } \over {2}}  + \pi\right) } x \right) \right] 
$$

다만 여기서 $\lambda$ 가 정말 고유값이 되는지는 [별도의 체크](../581)가 필요하다.

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