완전 미분방정식의 풀이

완전 미분방정식의 풀이

풀이

주어진 완전 미분방정식 $M(x,y)+N(x,y)\dfrac{dy}{dx}=0$의 풀이는 다음과 같다.

예제

1

미분방정식 $(2x^3y+4xy)+(\frac{1}{2}x^4+2x^2+3y^2)y^\prime=0$을 풀어라.

$$ M(x,y)=2x^3y+4xy\quad N(x,y)=\frac{1}{2}x^4+2x^2+3y^2 $$

라고 하면,

$$ M_{y}=2x^3+4x=N_{x} $$

이므로 주어진 미분방정식은 완전하다. 따라서

$$ \psi_{x}=M,\quad \psi_{y}=N $$

을 만족하는 $\psi=c$가 존재한다.

$$ \begin{align*} && \psi&=\int M dx = \int (2x^3y+4xy) dx = \frac{1}{2}x^4y+2x^2y+h(y) \\ \implies && \psi_{y}&=\frac{1}{2}x^4+2x^2+h^\prime (y)=N(x,y)=\frac{1}{2}x^4+2x^2+3y^2 \\ \implies && h^\prime (y)&=3y^2 \\ \implies && h(y)&=\int 3y^2 dy = y^3 \\ \implies && \psi& =\frac{1}{2}x^4y+2x^2y+h(y) = \frac{1}{2}x^4y+2x^2y+y^3 \end{align*} $$

따라서 일반해는 음함수 꼴의 $\frac{1}{2}x^4y+2x^2y+y^3=c$이다.

2

미분방정식 $(3xy+y^2) + (x^2+xy)y^\prime =0$을 풀어라.

$$ M(x,y)=3xy+y^2,\ \ N(x,y)=x^2+xy $$

라고 하면,

$$ M_{y}=3x+2y \ne 2x+y=N_{x} $$

이므로 주어진 미분방정식은 완전하지 않다. 따라서 완전 미분방정식의 풀이법을 쓸 수 없다. 정말로 안 되는지 확인해보자. 완전 미분 방정식은 아니지만

$$ \psi_{x}=M(x,y)=3xy+y^2,\quad \psi_{y}=N(x,y)=x^2+xy $$

를 만족하는 $\psi$가 존재한다고 가정해보자. 완전 미분방정식이 풀이법을 따라가면

$$ \begin{align*} && \psi& =\int \psi_{x} dx = \int 3xy+y^2 dx = \frac{3}{2}x^2y+xy^2+h(y) \\ && \psi_{y}&=\frac{3}{2}x^2 + 2xy+h^\prime (y)=N(x,y)=x^2+xy \\ \implies && h^\prime (y) &= -\frac{1}{2}x^2-xy \end{align*} $$

이 결과는 $h^\prime(y)$가 $y$에만 의존하는 함수라는 것에 모순이다. 따라서 완전 미분방정식의 정의를 만족하는 $\psi (x,y)$는 존재하지 않는다.

댓글