완전 미분방정식의 풀이

완전 미분방정식의 풀이

solution of exact differential equation

풀이

주어진 완전 미분방정식 $M(x,y)+N(x,y)\dfrac{dy}{dx}=0$의 풀이는 다음과 같다.

  • Step 0.

    주어진 미분방정식이 완전하므로 $\psi_{x}=M,\ \ \psi_{y}=N, \ \ \psi=c$인 $\psi$가 존재한다.

  • Step 1.

    $\psi_{x}$를 적분한다. 그 후 얻은 $\psi$를 다시 $y$로 미분하여 $h^\prime(y)$를 구한다. Step 1을 포함한 전 과정에서 $x$와 $y$에 대해 반대로 해도 무관하다.

    $$ \begin{align} && \psi &= \int \psi_{x} = \int M(x,y)dx + h(y) \label{eq1} \\ \implies && \psi_{y}&=\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) +h^\prime(y)=N(x,y) \nonumber \\ \implies && h^\prime(y)&=N(x,y) - \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) \nonumber \end{align} $$

  • Step 2.

    구한 $h^\prime(y)$를 적분하여 $h(y)$를 구한 뒤 $\eqref{eq1}$에 대입한다.

    $$ \begin{align*} && h(y)&=\int h^\prime(y) dy =\int N(x,y) dy - \int \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) \right] dy \\ \implies && \psi (x,y)&= \int M(x,y)dx + \int N(x,y) dy - \int \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) \right] dy \end{align*} $$

  • Step 3.

  • 최종적으로 $\psi$를 음함수 꼴로 나타내면 미분방정식의 해가 된다.

    $$ \int M(x,y)dx + \int N(x,y) dy - \int \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) \right] dy=c $$

예제

1

미분방정식 $(2x^3y+4xy)+(\frac{1}{2}x^4+2x^2+3y^2)y^\prime=0$을 풀어라.

$$ M(x,y)=2x^3y+4xy\quad N(x,y)=\frac{1}{2}x^4+2x^2+3y^2 $$

라고 하면,

$$ M_{y}=2x^3+4x=N_{x} $$

이므로 주어진 미분방정식은 완전하다. 따라서

$$ \psi_{x}=M,\quad \psi_{y}=N $$

을 만족하는 $\psi=c$가 존재한다.

$$ \begin{align*} && \psi&=\int M dx = \int (2x^3y+4xy) dx = \frac{1}{2}x^4y+2x^2y+h(y) \\ \implies && \psi_{y}&=\frac{1}{2}x^4+2x^2+h^\prime (y)=N(x,y)=\frac{1}{2}x^4+2x^2+3y^2 \\ \implies && h^\prime (y)&=3y^2 \\ \implies && h(y)&=\int 3y^2 dy = y^3 \\ \implies && \psi& =\frac{1}{2}x^4y+2x^2y+h(y) = \frac{1}{2}x^4y+2x^2y+y^3 \end{align*} $$

따라서 일반해는 음함수 꼴의 $\frac{1}{2}x^4y+2x^2y+y^3=c$이다.

2

미분방정식 $(3xy+y^2) + (x^2+xy)y^\prime =0$을 풀어라.

$$ M(x,y)=3xy+y^2,\ \ N(x,y)=x^2+xy $$

라고 하면,

$$ M_{y}=3x+2y \ne 2x+y=N_{x} $$

이므로 주어진 미분방정식은 완전하지 않다. 따라서 완전 미분방정식의 풀이법을 쓸 수 없다. 정말로 안 되는지 확인해보자. 완전 미분 방정식은 아니지만

$$ \psi_{x}=M(x,y)=3xy+y^2,\quad \psi_{y}=N(x,y)=x^2+xy $$

를 만족하는 $\psi$가 존재한다고 가정해보자. 완전 미분방정식이 풀이법을 따라가면

$$ \begin{align*} && \psi& =\int \psi_{x} dx = \int 3xy+y^2 dx = \frac{3}{2}x^2y+xy^2+h(y) \\ && \psi_{y}&=\frac{3}{2}x^2 + 2xy+h^\prime (y)=N(x,y)=x^2+xy \\ \implies && h^\prime (y) &= -\frac{1}{2}x^2-xy \end{align*} $$

이 결과는 $h^\prime(y)$가 $y$에만 의존하는 함수라는 것에 모순이다. 따라서 완전 미분방정식의 정의를 만족하는 $\psi (x,y)$는 존재하지 않는다.

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